Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 30 mm. Poziom wody utrzymuje się 4 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,6. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 4 mC_d = 0,6g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 200 mm do 100 mm i wznosi się o 7 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 140 kPa, a prędkość 2 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 140 kPav₁ = 2 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 2,5 m/s przez poziomą rurę o długości 50 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 2,5 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,025. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 15 L/s?

Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 75% tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 22 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 50 L/sH = 22 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 75 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 33 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 72%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 75 L/sΔz = 33 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (grunt porośnięty trawą) ma szerokość dna 2,5 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,6 m. Współczynnik Manninga n = 0,03, a spadek dna S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 2,5 my = 0,6 mz = 3n = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (żwir) o szerokości dna 5,5 m i nachyleniu skarp 2:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 16 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,025. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 16 m³/sb = 5,5 my = 1,3 mz = 2n = 0,025

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 58,86 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Odpowiedź

F = 58,86 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 100,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5·2 = 100,6 kN

Odpowiedź

F = 100,6 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 3,757 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,6·0,0007069·8,859 = 0,003757 m³/s = 3,757 L/s

Odpowiedź

Q = 3,757 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 41,33 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(200/100)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−30) − 68,67 = 41,33 kPa

Odpowiedź

p₂ = 41,33 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 9,375 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,3)·2,5²/(2·9,81) = 0,9557 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,9557 = 9375 Pa = 9,375 kPa

Odpowiedź

Δp = 9,375 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 5,968 m

Prędkość

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Całkowita strata wysokości

h_f = 25·0,1859 = 4,648 m

h_m = 7,1·0,1859 = 1,32 m

Δz = h_f + h_m = 5,968 m

Odpowiedź

Δz = 5,968 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 14,39 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·22 = 10,79 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 10,79/0,75 = 14,39 kW

Odpowiedź

P_shaft = 14,39 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 40,55 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,2905 = 6,681 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 33 + 6,681 = 39,68 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·39,68/0,72 = 40,55 kW

Odpowiedź

P_shaft = 40,55 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 2,122 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·0,6)·0,6 = 2,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,6·√(1 + 3²) = 6,295 m

R = A/P = 0,4099 m

Prędkość

V = (1/0,03)·0,4099^2/3·0,002^1/2 = 0,8225 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 2,58·0,8225 = 2,122 m³/s

Odpowiedź

Q = 2,122 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,001588 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·1,3)·1,3 = 10,53 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,3·√(1 + 2²) = 11,31 m

R = A/P = 0,9307 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·16/(10,53·0,9533) = 0,03985

S = 0,03985² = 0,001588

Odpowiedź

S = 0,001588

To spadek o 1,588 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering