Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 40 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 170 kPa, a prędkość 1,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 170 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Pozioma zwężka Venturiego (wlot 250 mm, gardziel 125 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 400 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,95. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².
d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 400 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 25 L/s przez rurę o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 25 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,025. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 20 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 20 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa o sprawności 60% tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 72 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale Pshaft, w kW.
Q = 60 L/sH = 72 mη = 60%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Prostokątny kanał (grunt porośnięty trawą) ma szerokość 5,5 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,6 m. Współczynnik Manninga n = 0,03, a spadek dna S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 5,5 my = 1,6 mn = 0,03S = 0,002
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,6 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 117,7 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN
Odpowiedź
F = 117,7 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 1,4 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,25·3 = 46,35 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,25 + 0,5625/(1,25·3) = 1,4 m
Odpowiedź
ycp = 1,4 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 152,6 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(75/40)² = 6,152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 6,152²)/1000 = −17,39 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 170 + (−17,39) = 152,6 kPa
Odpowiedź
p2 = 152,6 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 119,7 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Różnica ciśnień z manometru
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,4 = 49442 Pa
Prędkość w gardzieli
Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.
β = 125/250 = 0,5
v2 = √(2·49442/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,27 m/s
Rzeczywiste natężenie przepływu
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,01227·10,27 = 0,1197 m³/s = 119,7 L/s
Odpowiedź
Q = 119,7 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 0,238 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²
V = Q/A = 0,025/0,04909 = 0,5093 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 0,5093²/(2·9,81) = 0,01322 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,25)·0,5093²/(2·9,81) = 0,238 m
Odpowiedź
hf = 0,238 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 256,2 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
20 = (10 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·20/14,4) = 5,22 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 5,22·0,04909 = 0,2562 m³/s = 256,2 L/s
Odpowiedź
Q = 256,2 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 70,63 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·72 = 42,38 kW
Moc na wale
Pshaft = Ph/η = 42,38/0,6 = 70,63 kW
Odpowiedź
Pshaft = 70,63 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 7,582 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
V²/(2g) = 0,1291 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,1291 = 2,582 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.
H = Δz + hL = 5 + 2,582 = 7,582 m
Odpowiedź
H = 7,582 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 13,22 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 5,5·1,6 = 8,8 m²
P = b + 2y = 5,5 + 2·1,6 = 8,7 m
R = A/P = 1,011 m
Prędkość
V = (1/0,03)·1,0112/3·0,0021/2 = 1,502 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 8,8·1,502 = 13,22 m³/s
Odpowiedź
Q = 13,22 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,003303 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Promień hydrauliczny
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,1357)² = 0,003303
Odpowiedź
S = 0,003303
To spadek o 3,303 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering