Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 4 mH = 3 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 0,5 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Q = ?d = 25 mm, Cd​ = 0,6h = 6 m

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 25 mm. Poziom wody utrzymuje się 6 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,6. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 6 mCd = 0,6g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
12d1​ = 200 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 200 mm do 100 mm i wznosi się o 5 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 340 kPa, a prędkość 1,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 340 kPav1 = 1,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 2,9 m/sD = 75 mmL = 50 mf = 0,03

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 2,9 m/s przez poziomą rurę o długości 50 m i średnicy wewnętrznej 75 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 2,9 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 5swobodny wypływH = ?L = 200 m, D = 150 mm, f = 0,023× kolano (K = 0,3)

Rura o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 150 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 5). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 150 L/sH = 48 m

Podczas próby pompa tłoczy 150 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 48 m, a jej wał pobiera 94,2 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 150 L/sH = 48 mPshaft = 94,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 120 L/sΔz = 11 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0,022, ΣK = 4

Pompa przetłacza 120 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 11 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 4 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 120 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 4
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 5,5 my = 0,6 mn = 0,014, S = 0,0005

Prostokątny kanał (niewygładzony beton) ma szerokość 5,5 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,6 m. Współczynnik Manninga n = 0,014, a spadek dna S = 0,0005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 5,5 my = 0,6 mn = 0,014S = 0,0005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
b = 3 my = 2,2 mn = 0,022, Q = 20 m³/s

Prostokątny kanał (czysty grunt) o szerokości 3 m ma przeprowadzić 20 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,022. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 20 m³/sb = 3 my = 2,2 mn = 0,022
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 485,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
zasuwad = 4 mH = 3 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN

Odpowiedź

F = 485,6 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: ycp = 2,048 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
zasuwad = 0,5 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

Ic = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 3,906/(1,75·7,5) = 2,048 m

Odpowiedź

ycp = 2,048 m
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 3,196 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·6) = 10,85 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,6·0,0004909·10,85 = 0,003196 m³/s = 3,196 L/s

Odpowiedź

Q = 3,196 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p2 = 268 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(200/100)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 340 + (−22,97) − 49,05 = 268 kPa

Odpowiedź

p2 = 268 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 84,1 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,075)·2,9²/(2·9,81) = 8,573 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·8,573 = 84100 Pa = 84,1 kPa

Odpowiedź

Δp = 84,1 kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 20,02 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·200/0,15 = 26,67
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 26,67 + 6,4)·0,5876 = 20,02 m

Odpowiedź

H = 20,02 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 74,98 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·48 = 70,63 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 70,63/94,2 = 74,98%

Odpowiedź

η = 74,98%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 14,9 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8,8 + 4)·0,3046 = 3,899 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + hL = 11 + 3,899 = 14,9 m

Odpowiedź

H = 14,9 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 3,287 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 5,5·0,6 = 3,3 m²
P = b + 2y = 5,5 + 2·0,6 = 6,7 m
R = A/P = 0,4925 m

Prędkość

V = (1/0,014)·0,49252/3·0,00051/2 = 0,9961 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 3,3·0,9961 = 3,287 m³/s

Odpowiedź

Q = 3,287 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,005177 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 3·2,2 = 6,6 m²
P = b + 2y = 3 + 2·2,2 = 7,4 m
R = A/P = 0,8919 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·20/(6,6·0,9266) = 0,07195
S = 0,07195² = 0,005177

Odpowiedź

S = 0,005177

To spadek o 5,177 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering