Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 200 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 170 kPa, a prędkość 1,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 170 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 25 mm i wznosi się o 4 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 320 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 320 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 20 L/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 20 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 82% tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 16 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 60 L/sH = 16 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 6 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (mur ceglany) ma szerokość 3 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,9 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 3 my = 1,9 mn = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 375 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 51,5 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1,5 = 51,5 kN

Odpowiedź

F = 51,5 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 4,789 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,75·2,25 = 107,5 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,75 + 0,4219/(4,75·2,25) = 4,789 m

Odpowiedź

y_cp = 4,789 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 114,2 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(200/75)² = 10,67 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 10,67²)/1000 = −55,76 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 170 + (−55,76) = 114,2 kPa

Odpowiedź

p₂ = 114,2 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 248,9 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 8²)/1000 = −31,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 320 + (−31,88) − 39,24 = 248,9 kPa

Odpowiedź

p₂ = 248,9 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 0,7436 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,02/0,03142 = 0,6366 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 0,6366²/(2·9,81) = 0,02066 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,2)·0,6366²/(2·9,81) = 0,7436 m

Odpowiedź

h_f = 0,7436 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 1,702 m

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 16,5 + 3,1)·0,08263 = 1,702 m

Odpowiedź

H = 1,702 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 11,48 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·16 = 9,418 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 9,418/0,82 = 11,48 kW

Odpowiedź

P_shaft = 11,48 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 15,05 m

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 8)·0,2611 = 9,053 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 6 + 9,053 = 15,05 m

Odpowiedź

H = 15,05 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 21,37 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 3·1,9 = 5,7 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1,9 = 6,8 m

R = A/P = 0,8382 m

Prędkość

V = (1/0,015)·0,8382^2/3·0,004^1/2 = 3,748 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 5,7·3,748 = 21,37 m³/s

Odpowiedź

Q = 21,37 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,003968 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,2064)² = 0,003968

Odpowiedź

S = 0,003968

To spadek o 3,968 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering