Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie z natężeniem 24 L/s przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 75 mm. Ciśnienie w wąskim odcinku wynosi 160 kPa. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₁ w szerokim odcinku.

Q = 24 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 160 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 75 mm do 40 mm i wznosi się o 10 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 390 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 390 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 1,8 m/s przez rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 1,8 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 22 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 22 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 65% tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 16 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 60 L/sH = 16 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 12 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 8 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 12 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (grunt porośnięty trawą) ma szerokość dna 3 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,8 m. Współczynnik Manninga n = 0,03, a spadek dna S = 0,005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 3 my = 1,8 mz = 3n = 0,03S = 0,005

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,9 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 55,18 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·4,5 = 55,18 kN

Odpowiedź

F = 55,18 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 155,4 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·4,5 = 155,4 kN

Odpowiedź

F = 155,4 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₁ = 170,1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkości

v₁ = Q/A₁ = 0,024/0,007854 = 3,056 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,024/0,004418 = 5,432 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 160 + ½·1000·(5,432² − 3,056²)/1000 = 160 + 10,09 = 170,1 kPa

Odpowiedź

p₁ = 170,1 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 283 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(75/40)² = 4,395 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 4,395²)/1000 = −8,875 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−8,875) − 98,1 = 283 kPa

Odpowiedź

p₂ = 283 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 8,257 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,15)·1,8²/(2·9,81) = 8,257 m

Odpowiedź

h_f = 8,257 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 34,25 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

22 = (18 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·22/22,7) = 4,361 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 4,361·0,007854 = 0,03425 m³/s = 34,25 L/s

Odpowiedź

Q = 34,25 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 14,49 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·16 = 9,418 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 9,418/0,65 = 14,49 kW

Odpowiedź

P_shaft = 14,49 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 12,52 m

Prędkość

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,119 = 4,521 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 8 + 4,521 = 12,52 m

Odpowiedź

H = 12,52 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 36,84 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1,8)·1,8 = 15,12 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,8·√(1 + 3²) = 14,38 m

R = A/P = 1,051 m

Prędkość

V = (1/0,03)·1,051^2/3·0,005^1/2 = 2,437 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 15,12·2,437 = 36,84 m³/s

Odpowiedź

Q = 36,84 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,007432 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1357)² = 0,007432

Odpowiedź

S = 0,007432

To spadek o 7,432 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering