Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie z natężeniem 24 L/s przez poziomą rurę, która zwęża się z 200 mm do 150 mm. Ciśnienie w wąskim odcinku wynosi 250 kPa. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p1 w szerokim odcinku.
Q = 24 L/sd1 = 200 mmd2 = 150 mmp2 = 250 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 200 mm do 50 mm i wznosi się o 3 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 180 kPa, a prędkość 0,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 200 mmd2 = 50 mmp1 = 180 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 12 L/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 12 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 17 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 17 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 30 m. Sprawność pompy wynosi 72%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 94%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.
Q = 50 L/sH = 30 mηpump = 72%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 15 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 85%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.
Q = 100 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 6η = 85%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (wygładzony beton) ma szerokość dna 4,5 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,7 m. Współczynnik Manninga n = 0,012, a spadek dna S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 4,5 my = 1,7 mz = 3n = 0,012S = 0,002
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Trapezowy kanał (czysty grunt) o szerokości dna 5 m i nachyleniu skarp 2:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 2,3 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 0,6 m. Współczynnik Manninga n = 0,022. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 2,3 m³/sb = 5 my = 0,6 mz = 2n = 0,022
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 156,3 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN
Odpowiedź
F = 156,3 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 132,4 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN
Odpowiedź
F = 132,4 kN
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p1 = 250,6 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Prędkości
v1 = Q/A1 = 0,024/0,03142 = 0,7639 m/s
v2 = Q/A2 = 0,024/0,01767 = 1,358 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 250 + ½·1000·(1,358² − 0,7639²)/1000 = 250 + 0,6304 = 250,6 kPa
Odpowiedź
p1 = 250,6 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 78,85 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(200/50)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 12²)/1000 = −71,72 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 180 + (−71,72) − 29,43 = 78,85 kPa
Odpowiedź
p2 = 78,85 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 0,3917 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,15)·0,6791²/(2·9,81) = 0,3917 m
Odpowiedź
hf = 0,3917 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 340,2 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
17 = (10 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·17/14,4) = 4,813 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 4,813·0,07069 = 0,3402 m³/s = 340,2 L/s
Odpowiedź
Q = 340,2 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pel = 21,74 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·30 = 14,71 kW
Moc na wale
Pshaft = 14,71/0,72 = 20,44 kW
Moc elektryczna
Pel = 20,44/0,94 = 21,74 kW
Odpowiedź
Pel = 21,74 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 20,24 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 6)·0,2115 = 2,538 m
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + hL = 15 + 2,538 = 17,54 m
Moc na wale
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·17,54/0,85 = 20,24 kW
Odpowiedź
Pshaft = 20,24 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 63,63 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 3·1,7)·1,7 = 16,32 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,7·√(1 + 3²) = 15,25 m
R = A/P = 1,07 m
Prędkość
V = (1/0,012)·1,072/3·0,0021/2 = 3,899 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 16,32·3,899 = 63,63 m³/s
Odpowiedź
Q = 63,63 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,0004867 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (5 + 2·0,6)·0,6 = 3,72 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 7,683 m
R = A/P = 0,4842 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·2,3/(3,72·0,6166) = 0,02206
S = 0,02206² = 0,0004867
Odpowiedź
S = 0,0004867
To spadek o 0,4867 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering