Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 40 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 280 kPa, a prędkość 1,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 40 mm i wznosi się o 2 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 260 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 260 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 25 L/s przez rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 25 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 300 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 23 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 23 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 80% tłoczy 150 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 64 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 150 L/sH = 64 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 11 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 150 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 40 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (grunt porośnięty trawą) ma szerokość dna 2 m i nachylenie skarp 1:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2 m. Współczynnik Manninga n = 0,03, a spadek dna S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 2 my = 2 mz = 1n = 0,03S = 0,004

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (niewygładzony beton) o szerokości dna 4 m i nachyleniu skarp 3:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 58 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,8 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 58 m³/sb = 4 my = 1,8 mz = 3n = 0,014

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 176,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Odpowiedź

F = 176,6 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 3,714 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·9 = 271,9 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 6,75/(3,5·9) = 3,714 m

Odpowiedź

y_cp = 3,714 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 221,7 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(100/40)² = 10,94 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 10,94²)/1000 = −58,28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 280 + (−58,28) = 221,7 kPa

Odpowiedź

p₂ = 221,7 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 235,6 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−4,758) − 19,62 = 235,6 kPa

Odpowiedź

p₂ = 235,6 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 34,08 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,1)·3,183²/(2·9,81) = 34,08 m

Odpowiedź

h_f = 34,08 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 272,3 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·300/0,3 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

23 = (18 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/30,4) = 3,853 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 3,853·0,07069 = 0,2723 m³/s = 272,3 L/s

Odpowiedź

Q = 272,3 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 117,7 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·64 = 94,18 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 94,18/0,8 = 117,7 kW

Odpowiedź

P_shaft = 117,7 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 30,99 m

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0,2611 = 4,701 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 15,29 + 4,701 = 30,99 m

Odpowiedź

H = 30,99 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 17,37 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·2)·2 = 8 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2·√(1 + 1²) = 7,657 m

R = A/P = 1,045 m

Prędkość

V = (1/0,03)·1,045^2/3·0,004^1/2 = 2,171 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 8·2,171 = 17,37 m³/s

Odpowiedź

Q = 17,37 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,002029 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1,8)·1,8 = 16,92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,8·√(1 + 3²) = 15,38 m

R = A/P = 1,1 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·58/(16,92·1,065) = 0,04504

S = 0,04504² = 0,002029

Odpowiedź

S = 0,002029

To spadek o 2,029 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering