Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Rurka Prandtla w tunelu aerodynamicznym wskazuje różnicę 50 Pa między ciśnieniem spiętrzenia a ciśnieniem statycznym. Gęstość powietrza wynosi 1,2 kg/m³. Wyznacz prędkość powietrza v.
p0 − p = 50 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 75 mm do 40 mm i wznosi się o 5 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 250 kPa, a prędkość 1,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 250 kPav1 = 1,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 12 L/s przez rurę o długości 1000 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 12 L/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,025. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 12 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 0,2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 12 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa o sprawności 70% tłoczy 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 70 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale Pshaft, w kW.
Q = 20 L/sH = 70 mη = 70%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 7 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 82%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.
Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (czysty grunt) ma szerokość dna 3 m i nachylenie skarp 2:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,8 m. Współczynnik Manninga n = 0,022, a spadek dna S = 0,0015. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 3 my = 1,8 mz = 2n = 0,022S = 0,0015
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (niewygładzony beton) o szerokości 6 m ma przeprowadzić 15 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 15 m³/sb = 6 my = 1,3 mn = 0,014
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 77,25 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN
Odpowiedź
F = 77,25 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 3,41 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,25·2,5 = 70,14 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 1,302/(3,25·2,5) = 3,41 m
Odpowiedź
ycp = 3,41 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: v = 9,129 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Równanie Bernoulliego do punktu spiętrzenia
Przepływ zatrzymuje się przy końcówce, więc jego energia kinetyczna ujawnia się jako dodatkowe ciśnienie.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·50/1,2) = 9,129 m/s
Odpowiedź
v = 9,129 m/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 183,6 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(75/40)² = 6,152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 6,152²)/1000 = −17,39 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 250 + (−17,39) − 49,05 = 183,6 kPa
Odpowiedź
p2 = 183,6 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 2,35 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,15)·0,6791²/(2·9,81) = 2,35 m
Odpowiedź
hf = 2,35 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 214,8 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
12 = (10 + 2,3)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·12/12,3) = 4,375 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 4,375·0,04909 = 0,2148 m³/s = 214,8 L/s
Odpowiedź
Q = 214,8 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 19,62 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·70 = 13,73 kW
Moc na wale
Pshaft = Ph/η = 13,73/0,7 = 19,62 kW
Odpowiedź
Pshaft = 19,62 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 9,291 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0,1354 = 2,708 m
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + hL = 7 + 2,708 = 9,708 m
Moc na wale
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·9,708/0,82 = 9,291 kW
Odpowiedź
Pshaft = 9,291 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 21,95 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (3 + 2·1,8)·1,8 = 11,88 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,8·√(1 + 2²) = 11,05 m
R = A/P = 1,075 m
Prędkość
V = (1/0,022)·1,0752/3·0,00151/2 = 1,848 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 11,88·1,848 = 21,95 m³/s
Odpowiedź
Q = 21,95 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,0008256 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 6·1,3 = 7,8 m²
P = b + 2y = 6 + 2·1,3 = 8,6 m
R = A/P = 0,907 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·15/(7,8·0,937) = 0,02873
S = 0,02873² = 0,0008256
Odpowiedź
S = 0,0008256
To spadek o 0,8256 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering