Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 3 mH = 1,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 1,5 mH = 2 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Q = ?d = 40 mm, Cd​ = 0,64h = 3 m

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 40 mm. Poziom wody utrzymuje się 3 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,64. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 3 mCd = 0,64g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
C211,5 m4 md = 25 mmQ = ?

Wąż o średnicy wewnętrznej 25 mm działa jak lewar i odprowadza wodę z otwartego zbiornika. Najwyższy punkt węża C leży 1,5 m nad powierzchnią wody, a wylot (otwarty do atmosfery) 4 m pod powierzchnią wody. Pomiń straty i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q.

d = 25 mmzC = +1,5 mz2 = −4 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 1,9 m/sD = 300 mmL = 100 mf = 0,028

Woda płynie z prędkością średnią 1,9 m/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,028 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

V = 1,9 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 2Δz = 31 mL = 300 m, D = 250 mm, f = 0,0222× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 300 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 31 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 31 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 100 L/sH = 58 m

Podczas próby pompa tłoczy 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 58 m, a jej wał pobiera 66,9 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 100 L/sH = 58 mPshaft = 66,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 80 L/sΔz = 7 mL = 600 m, D = 200 mm, f = 0,018, ΣK = 8

Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 7 m wyżej. Rura ma długość 600 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
D = 600 mmn = 0,013, S = 0,004

Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 600 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,004
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 600 mmn = 0,013, V = 1,2 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 600 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 82,77 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
zasuwad = 3 mH = 1,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Odpowiedź

F = 82,77 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 86,33 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
zasuwad = 1,5 mH = 2 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·4 = 86,33 kN

Odpowiedź

F = 86,33 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 6,17 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,64·0,001257·7,672 = 0,00617 m³/s = 6,17 L/s

Odpowiedź

Q = 6,17 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 4,349 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkość w wężu

Powierzchnia i wylot są otwarte do atmosfery, więc wyrazy ciśnieniowe się znoszą.

v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·v = 0,0004909·8,859 = 0,004349 m³/s = 4,349 L/s

Odpowiedź

Q = 4,349 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 1,717 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,3)·1,9²/(2·9,81) = 1,717 m

Odpowiedź

hf = 1,717 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 219,2 L/s

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

31 = (26,4 + 4,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·31/30,5) = 4,466 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 4,466·0,04909 = 0,2192 m³/s = 219,2 L/s

Odpowiedź

Q = 219,2 L/s
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 85,05 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·58 = 56,9 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 56,9/66,9 = 85,05%

Odpowiedź

η = 85,05%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 27,49 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0,3305 = 20,49 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + hL = 7 + 20,49 = 27,49 m

Odpowiedź

H = 27,49 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 0,3883 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Prędkość

V = (1/0,013)·0,152/3·0,0041/2 = 1,373 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 0,2827·1,373 = 0,3883 m³/s

Odpowiedź

Q = 0,3883 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,003053 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,2823)² = 0,003053

Odpowiedź

S = 0,003053

To spadek o 3,053 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering