Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Rurka Prandtla w rurociągu wodnym wskazuje różnicę 40 kPa między ciśnieniem spiętrzenia a ciśnieniem statycznym. Wyznacz prędkość wody v przy końcówce.

p₀ − p = 40 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 200 mm do 100 mm i wznosi się o 8 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 240 kPa, a prędkość 3 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 240 kPav₁ = 3 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 1,8 m/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 50 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 1,8 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 10 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 32 m. Sprawność pompy wynosi 72%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 88%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 10 L/sH = 32 mη_pump = 72%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 120 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 23 m wyżej. Rura ma długość 600 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 70%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (żwir) ma szerokość 6 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,4 m. Współczynnik Manninga n = 0,025, a spadek dna S = 0,003. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 6 my = 1,4 mn = 0,025S = 0,003

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 450 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,6 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 117,7 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Odpowiedź

F = 117,7 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 407,2 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·9 = 407,2 kN

Odpowiedź

F = 407,2 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 8,944 m/s

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Równanie Bernoulliego do punktu spiętrzenia

Przepływ zatrzymuje się przy końcówce, więc jego energia kinetyczna ujawnia się jako dodatkowe ciśnienie.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·40000/1000) = 8,944 m/s

Odpowiedź

v = 8,944 m/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 94,02 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(200/100)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−67,5) − 78,48 = 94,02 kPa

Odpowiedź

p₂ = 94,02 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 6,606 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,05)·1,8²/(2·9,81) = 6,606 m

Odpowiedź

h_f = 6,606 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 2,185 m

Prędkość

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·300/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 24 + 3,7)·0,07615 = 2,185 m

Odpowiedź

H = 2,185 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 4,955 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·32 = 3,139 kW

Moc na wale

P_shaft = 3,139/0,72 = 4,36 kW

Moc elektryczna

P_el = 4,36/0,88 = 4,955 kW

Odpowiedź

P_el = 4,955 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 69,82 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (52,8 + 8)·0,3046 = 18,52 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 23 + 18,52 = 41,52 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·41,52/0,7 = 69,82 kW

Odpowiedź

P_shaft = 69,82 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 17,84 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 6·1,4 = 8,4 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,4 = 8,8 m

R = A/P = 0,9545 m

Prędkość

V = (1/0,025)·0,9545^2/3·0,003^1/2 = 2,124 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 8,4·2,124 = 17,84 m³/s

Odpowiedź

Q = 17,84 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,00112 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,233)² = 0,00112

Odpowiedź

S = 0,00112

To spadek o 1,12 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering