Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 130 kPa, a prędkość 2,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 130 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 180 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 25 mm, położony 4,5 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz prędkość strumienia v. Przyjmij g = 9,81 m/s².

p_air = 180 kPa (nadciśnienie)h = 4,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 3 m/s przez poziomą rurę o długości 800 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,028 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 3 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 48 m, a jej wał pobiera 9,8 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 15 L/sH = 48 mP_shaft = 9,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 6 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 65%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (żwir) ma szerokość dna 6 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2 m. Współczynnik Manninga n = 0,025, a spadek dna S = 0,0008. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 6 my = 2 mz = 3n = 0,025S = 0,0008

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,6 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 42,92 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN

Odpowiedź

F = 42,92 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 1,4 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,25·3 = 32,37 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,25 + 0,5625/(1,25·3) = 1,4 m

Odpowiedź

y_cp = 1,4 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 119,7 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(75/50)² = 5,063 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 130 + (−10,28) = 119,7 kPa

Odpowiedź

p₂ = 119,7 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 21,17 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia

v = √(2·(180000/1000 + 9,81·4,5)) = 21,17 m/s

Odpowiedź

v = 21,17 m/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 336 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,3)·3²/(2·9,81) = 34,25 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·34,25 = 336000 Pa = 336 kPa

Odpowiedź

Δp = 336 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 1,01 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 14,4 + 3,7)·0,05288 = 1,01 m

Odpowiedź

H = 1,01 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 72,07 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·48 = 7,063 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 7,063/9,8 = 72,07%

Odpowiedź

η = 72,07%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 15,39 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 8)·0,2611 = 19,5 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 6 + 19,5 = 25,5 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·25,5/0,65 = 15,39 kW

Odpowiedź

P_shaft = 15,39 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 32,13 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2)·2 = 24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2·√(1 + 3²) = 18,65 m

R = A/P = 1,287 m

Prędkość

V = (1/0,025)·1,287^2/3·0,0008^1/2 = 1,339 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 24·1,339 = 32,13 m³/s

Odpowiedź

Q = 32,13 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,001924 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1778)² = 0,001924

Odpowiedź

S = 0,001924

To spadek o 1,924 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering