Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Rurka Prandtla w rurociągu wodnym wskazuje różnicę 2 kPa między ciśnieniem spiętrzenia a ciśnieniem statycznym. Wyznacz prędkość wody v przy końcówce.
p0 − p = 2 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 75 mm do 40 mm i wznosi się o 8 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 220 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 220 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 60 L/s przez rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 60 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 200 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 32 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 32 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa o sprawności 60% tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 68 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale Pshaft, w kW.
Q = 50 L/sH = 68 mη = 60%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 120 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 21 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 150 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 120 L/sΔz = 21 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6ptank = 150 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 750 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
D = 750 mmn = 0,013S = 0,002
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Trapezowy kanał (grunt porośnięty trawą) o szerokości dna 6 m i nachyleniu skarp 1:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 35 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2,4 m. Współczynnik Manninga n = 0,03. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 35 m³/sb = 6 my = 2,4 mz = 1n = 0,03
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 58,86 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN
Odpowiedź
F = 58,86 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 3,308 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,25·3 = 98,04 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 0,5625/(3,25·3) = 3,308 m
Odpowiedź
ycp = 3,308 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: v = 2 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Równanie Bernoulliego do punktu spiętrzenia
Przepływ zatrzymuje się przy końcówce, więc jego energia kinetyczna ujawnia się jako dodatkowe ciśnienie.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·2000/1000) = 2 m/s
Odpowiedź
v = 2 m/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 140,1 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(75/40)² = 1,758 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 1,758²)/1000 = −1,42 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 220 + (−1,42) − 78,48 = 140,1 kPa
Odpowiedź
p2 = 140,1 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 5,02 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 1,91²/(2·9,81) = 0,1859 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,2)·1,91²/(2·9,81) = 5,02 m
Odpowiedź
hf = 5,02 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 185 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
32 = (11 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·32/18,1) = 5,89 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 5,89·0,03142 = 0,185 m³/s = 185 L/s
Odpowiedź
Q = 185 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 55,59 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·68 = 33,35 kW
Moc na wale
Pshaft = Ph/η = 33,35/0,6 = 55,59 kW
Odpowiedź
Pshaft = 55,59 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 42,5 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 6)·0,3046 = 6,214 m
Wysokość ciśnienia
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 21 + 15,29 + 6,214 = 42,5 m
Odpowiedź
H = 42,5 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 0,4979 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m
Prędkość
V = (1/0,013)·0,18752/3·0,0021/2 = 1,127 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 0,4418·1,127 = 0,4979 m³/s
Odpowiedź
Q = 0,4979 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,001479 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (6 + 1·2,4)·2,4 = 20,16 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,4·√(1 + 1²) = 12,79 m
R = A/P = 1,576 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·35/(20,16·1,355) = 0,03845
S = 0,03845² = 0,001479
Odpowiedź
S = 0,001479
To spadek o 1,479 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering