Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 4 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 4 mH = 3 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Q = ?d = 30 mm, Cd​ = 0,65h = 2,5 m

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 30 mm. Poziom wody utrzymuje się 2,5 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,65. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 2,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
d1​ = 150 mmd2​ = 75 mm12Δh = 230 mmrtęćQ = ?

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 150 mm, gardziel 75 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 230 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,95. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 230 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 0,8 m/sD = 300 mmL = 300 mf = 0,015

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 0,8 m/s przez poziomą rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 0,8 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 2Δz = 15 mL = 200 m, D = 300 mm, f = 0,0153× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 15 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 15 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 15 L/sH = 50 m

Podczas próby pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 50 m, a jej wał pobiera 9,2 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 15 L/sH = 50 mPshaft = 9,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
350 kPa (nadciśnienie)PQ = 120 L/sΔz = 15 mL = 150 m, D = 250 mm, f = 0,02, ΣK = 8

Pompa przetłacza 120 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 15 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 350 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 120 L/sΔz = 15 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 350 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 2 my = 1 m2 : 1n = 0,014, S = 0,005

Trapezowy kanał (niewygładzony beton) ma szerokość dna 2 m i nachylenie skarp 2:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1 m. Współczynnik Manninga n = 0,014, a spadek dna S = 0,005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 2 my = 1 mz = 2n = 0,014S = 0,005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 600 mmn = 0,013, V = 0,9 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 600 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,9 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 386,3 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
zasuwad = 4 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN

Odpowiedź

F = 386,3 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 485,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
zasuwad = 4 mH = 3 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN

Odpowiedź

F = 485,6 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 3,218 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0007069·7,004 = 0,003218 m³/s = 3,218 L/s

Odpowiedź

Q = 3,218 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 32,69 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,23 = 28429 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 75/150 = 0,5
v2 = √(2·28429/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,788 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,004418·7,788 = 0,03269 m³/s = 32,69 L/s

Odpowiedź

Q = 32,69 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 4,8 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,3)·0,8²/(2·9,81) = 0,4893 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·0,4893 = 4800 Pa = 4,8 kPa

Odpowiedź

Δp = 4,8 kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 319,6 L/s

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·200/0,3 = 10
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

15 = (10 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·15/14,4) = 4,521 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 4,521·0,07069 = 0,3196 m³/s = 319,6 L/s

Odpowiedź

Q = 319,6 L/s
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 79,97 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·50 = 7,357 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 7,357/9,2 = 79,97%

Odpowiedź

η = 79,97%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 56,77 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0,3046 = 6,092 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 35,68 + 6,092 = 56,77 m

Odpowiedź

H = 56,77 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 14,66 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·1)·1 = 4 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1·√(1 + 2²) = 6,472 m
R = A/P = 0,618 m

Prędkość

V = (1/0,014)·0,6182/3·0,0051/2 = 3,665 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 4·3,665 = 14,66 m³/s

Odpowiedź

Q = 14,66 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,001718 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,2823)² = 0,001718

Odpowiedź

S = 0,001718

To spadek o 1,718 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering