Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 150 mm i średnicy gardzieli 100 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 8 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 8 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Dysza fontanny jest skierowana pionowo w górę. Tuż pod dyszą rura zasilająca ma średnicę 50 mm i nadciśnienie 40 kPa. Średnica wylotu dyszy wynosi 20 mm, a różnica wysokości na długości dyszy jest pomijalna. Pomijając straty i opór powietrza, wyznacz wysokość H, na jaką strumień wznosi się nad dyszę. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 40 kPa (nadciśnienie)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 2,1 m/s przez rurę o długości 50 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 2,1 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 400 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 5 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 5 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 60% tłoczy 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 74 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 40 L/sH = 74 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 28 m wyżej. Rura ma długość 600 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 200 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 50 L/sΔz = 28 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (wygładzony beton) ma szerokość dna 2,5 m i nachylenie skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2 m. Współczynnik Manninga n = 0,012, a spadek dna S = 0,001. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 2,5 my = 2 mz = 1,5n = 0,012S = 0,001

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 375 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,75 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 36,79 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

Odpowiedź

F = 36,79 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 3,41 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 1,953/(3,25·3,75) = 3,41 m

Odpowiedź

y_cp = 3,41 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 35,07 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v₁ = v₂·(100/150)² = 0,4444·v₂

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·8000/(1000·(1 − 0,1975))) = 4,465 m/s

v₁ = 1,985 m/s

Natężenie przepływu

Q = A₂·v₂ = 0,007854·4,465 = 0,03507 m³/s = 35,07 L/s

Odpowiedź

Q = 35,07 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: H = 4,185 m

Prędkość wylotowa

β = 20/50 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9744)) = 9,061 m/s

Wysokość strumienia

Równanie Bernoulliego wzdłuż strumienia: w najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a ciśnienie znów jest atmosferyczne.

H = v₂²/(2g) = 9,061²/(2·9,81) = 4,185 m

Odpowiedź

H = 4,185 m

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 1,236 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,2)·2,1²/(2·9,81) = 1,236 m

Odpowiedź

h_f = 1,236 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 141,7 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

5 = (20 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/24,4) = 2,005 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 2,005·0,07069 = 0,1417 m³/s = 141,7 L/s

Odpowiedź

Q = 141,7 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 48,4 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·74 = 29,04 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 29,04/0,6 = 48,4 kW

Odpowiedź

P_shaft = 48,4 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 76,13 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,408 = 27,75 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 28 + 20,39 + 27,75 = 76,13 m

Odpowiedź

H = 76,13 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 31,5 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·2)·2 = 11 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2·√(1 + 1,5²) = 9,711 m

R = A/P = 1,133 m

Prędkość

V = (1/0,012)·1,133^2/3·0,001^1/2 = 2,864 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 11·2,864 = 31,5 m³/s

Odpowiedź

Q = 31,5 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,002232 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,2064)² = 0,002232

Odpowiedź

S = 0,002232

To spadek o 2,232 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering