Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 40 mm. Poziom wody utrzymuje się 4 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,61. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².
d = 40 mmh = 4 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 150 mm do 75 mm i wznosi się o 6 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 330 kPa, a prędkość 1 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 330 kPav1 = 1 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 6 L/s przez rurę o długości 1000 m i średnicy wewnętrznej 75 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 6 L/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 11 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 44 m. Sprawność pompy wynosi 60%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 90%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.
Q = 15 L/sH = 44 mηpump = 60%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 11 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 60 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 600 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,0015. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
D = 600 mmn = 0,013S = 0,0015
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (mur ceglany) o szerokości 6 m ma przeprowadzić 29 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2 m. Współczynnik Manninga n = 0,015. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 29 m³/sb = 6 my = 2 mn = 0,015
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 132,4 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN
Odpowiedź
F = 132,4 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 78,48 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·4 = 78,48 kN
Odpowiedź
F = 78,48 kN
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 6,791 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Idealna prędkość strumienia
√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
Rzeczywiste natężenie przepływu
Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,001257·8,859 = 0,006791 m³/s = 6,791 L/s
Odpowiedź
Q = 6,791 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 263,6 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(150/75)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 330 + (−7,5) − 58,86 = 263,6 kPa
Odpowiedź
p2 = 263,6 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 18,8 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²
V = Q/A = 0,006/0,004418 = 1,358 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 1,358²/(2·9,81) = 0,09401 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,075)·1,358²/(2·9,81) = 18,8 m
Odpowiedź
hf = 18,8 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 40,19 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
11 = (29,33 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·11/41,73) = 2,274 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 2,274·0,01767 = 0,04019 m³/s = 40,19 L/s
Odpowiedź
Q = 40,19 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pel = 11,99 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·44 = 6,475 kW
Moc na wale
Pshaft = 6,475/0,6 = 10,79 kW
Moc elektryczna
Pel = 10,79/0,9 = 11,99 kW
Odpowiedź
Pel = 11,99 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 13,51 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 6)·0,1859 = 2,51 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.
H = Δz + hL = 11 + 2,51 = 13,51 m
Odpowiedź
H = 13,51 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 0,2378 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m
Prędkość
V = (1/0,013)·0,152/3·0,00151/2 = 0,8411 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 0,2827·0,8411 = 0,2378 m³/s
Odpowiedź
Q = 0,2378 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,00103 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 6·2 = 12 m²
P = b + 2y = 6 + 2·2 = 10 m
R = A/P = 1,2 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·29/(12·1,129) = 0,0321
S = 0,0321² = 0,00103
Odpowiedź
S = 0,00103
To spadek o 1,03 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering