Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 1 mH = 1,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 2,5 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
d1​ = 300 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 52 kPaQ = ?

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 300 mm i średnicy gardzieli 150 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 52 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 52 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
d1​ = 80 mmd2​ = 40 mm12Δh = 160 mmrtęćQ = ?

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 80 mm, gardziel 40 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 160 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,99. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 160 mmCd = 0,99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 1,3 m/sD = 100 mmL = 200 mf = 0,022

Woda płynie z prędkością średnią 1,3 m/s przez rurę o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

V = 1,3 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 2swobodny wypływH = ?L = 150 m, D = 150 mm, f = 0,0253× kolano (K = 0,3)

Rura o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 150 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 30 L/s?

Q = 30 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 60 L/sH = 26 m

Podczas próby pompa tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 26 m, a jej wał pobiera 18 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 60 L/sH = 26 mPshaft = 18 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 80 L/sΔz = 35 mL = 400 m, D = 200 mm, f = 0,022, ΣK = 8

Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 35 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 85%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.

Q = 80 L/sΔz = 35 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8η = 85%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 3,5 my = 2,4 m2 : 1n = 0,012, S = 0,003

Trapezowy kanał (wygładzony beton) ma szerokość dna 3,5 m i nachylenie skarp 2:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2,4 m. Współczynnik Manninga n = 0,012, a spadek dna S = 0,003. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 3,5 my = 2,4 mz = 2n = 0,012S = 0,003
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 200 mmn = 0,013, V = 0,6 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,6 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 25,75 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
zasuwad = 1 mH = 1,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·1,5 = 25,75 kN

Odpowiedź

F = 25,75 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 80,93 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
zasuwad = 2,5 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,75·2,5 = 80,93 kN

Odpowiedź

F = 80,93 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 186,1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·52000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,53 m/s
v1 = 2,633 m/s

Natężenie przepływu

Q = A2·v2 = 0,01767·10,53 = 0,1861 m³/s = 186,1 L/s

Odpowiedź

Q = 186,1 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 8,081 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,16 = 19777 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 40/80 = 0,5
v2 = √(2·19777/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,495 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = Cd·A2·v2 = 0,99·0,001257·6,495 = 0,008081 m³/s = 8,081 L/s

Odpowiedź

Q = 8,081 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 3,79 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,1)·1,3²/(2·9,81) = 3,79 m

Odpowiedź

hf = 3,79 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 4,319 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,025·150/0,15 = 25
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 25 + 3,4)·0,1469 = 4,319 m

Odpowiedź

H = 4,319 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 85,02 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·26 = 15,3 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 15,3/18 = 85,02%

Odpowiedź

η = 85,02%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pshaft = 48,18 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 8)·0,3305 = 17,19 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + hL = 35 + 17,19 = 52,19 m

Moc na wale

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·52,19/0,85 = 48,18 kW

Odpowiedź

Pshaft = 48,18 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 113,8 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·2,4)·2,4 = 19,92 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,4·√(1 + 2²) = 14,23 m
R = A/P = 1,4 m

Prędkość

V = (1/0,012)·1,42/3·0,0031/2 = 5,711 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 19,92·5,711 = 113,8 m³/s

Odpowiedź

Q = 113,8 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,003303 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,1357)² = 0,003303

Odpowiedź

S = 0,003303

To spadek o 3,303 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering