Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 0,5 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 2 mH = 1,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
v = ?p0​pp0​ − p = 550 Papunkt spiętrzenia

Rurka Prandtla w tunelu aerodynamicznym wskazuje różnicę 550 Pa między ciśnieniem spiętrzenia a ciśnieniem statycznym. Gęstość powietrza wynosi 1,2 kg/m³. Wyznacz prędkość powietrza v.

p0 − p = 550 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
d1​ = 150 mmd2​ = 100 mm12Δh = 340 mmrtęćQ = ?

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 150 mm, gardziel 100 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 340 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,96. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 340 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Q = 25 L/sD = 150 mmL = 100 mf = 0,025

Woda płynie z natężeniem 25 L/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 10Δz = ?L = 100 m, D = 100 mm, f = 0,024× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 8 L/s?

Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 40 L/sH = 30 m

Podczas próby pompa tłoczy 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 30 m, a jej wał pobiera 16,4 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 40 L/sH = 30 mPshaft = 16,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 60 L/sΔz = 6 mL = 400 m, D = 200 mm, f = 0,02, ΣK = 6

Pompa przetłacza 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 6 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 5 my = 1,3 m2 : 1n = 0,015, S = 0,0015

Trapezowy kanał (mur ceglany) ma szerokość dna 5 m i nachylenie skarp 2:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,0015. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 5 my = 1,3 mz = 2n = 0,015S = 0,0015
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 200 mmn = 0,013, V = 0,75 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,75 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,75 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 64,38 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
zasuwad = 0,5 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·3,75 = 64,38 kN

Odpowiedź

F = 64,38 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 76,48 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
zasuwad = 2 mH = 1,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,75·2,25 = 76,48 kN

Odpowiedź

F = 76,48 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 30,28 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego do punktu spiętrzenia

Przepływ zatrzymuje się przy końcówce, więc jego energia kinetyczna ujawnia się jako dodatkowe ciśnienie.

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·550/1,2) = 30,28 m/s

Odpowiedź

v = 30,28 m/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 77,17 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,34 = 42026 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 100/150 = 0,6667
v2 = √(2·42026/(1000·(1 − 0,1975))) = 10,23 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,007854·10,23 = 0,07717 m³/s = 77,17 L/s

Odpowiedź

Q = 77,17 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 1,7 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,15)·1,415²/(2·9,81) = 1,7 m

Odpowiedź

hf = 1,7 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 1,729 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Całkowita strata wysokości

hf = 20·0,05288 = 1,058 m
hm = 12,7·0,05288 = 0,6716 m
Δz = hf + hm = 1,729 m

Odpowiedź

Δz = 1,729 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 71,78 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·30 = 11,77 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 11,77/16,4 = 71,78%

Odpowiedź

η = 71,78%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 14,55 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0,1859 = 8,552 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + hL = 6 + 8,552 = 14,55 m

Odpowiedź

H = 14,55 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 24,02 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1,3)·1,3 = 9,88 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,3·√(1 + 2²) = 10,81 m
R = A/P = 0,9136 m

Prędkość

V = (1/0,015)·0,91362/3·0,00151/2 = 2,431 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 9,88·2,431 = 24,02 m³/s

Odpowiedź

Q = 24,02 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,005161 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,75/0,1357)² = 0,005161

Odpowiedź

S = 0,005161

To spadek o 5,161 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering