Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 200 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 210 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 210 kPav1 = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Wąż o średnicy wewnętrznej 50 mm działa jak lewar i odprowadza wodę z otwartego zbiornika. Najwyższy punkt węża C leży 0,5 m nad powierzchnią wody, a wylot (otwarty do atmosfery) 3 m pod powierzchnią wody. Pomiń straty i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q.
d = 50 mmzC = +0,5 mz2 = −3 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 80 L/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 80 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 300 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 120 L/s?
Q = 120 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompy i moc pompŚredni
Podczas próby pompa tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 16 m, a jej wał pobiera 10,1 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.
Q = 50 L/sH = 16 mPshaft = 10,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 12 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 85%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.
Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 85%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 1200 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
D = 1200 mmn = 0,013S = 0,004
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Trapezowy kanał (niewygładzony beton) o szerokości dna 4 m i nachyleniu skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 7,1 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 7,1 m³/sb = 4 my = 1 mz = 1,5n = 0,014
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 196,2 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·4 = 196,2 kN
Odpowiedź
F = 196,2 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 4,519 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4,5·3 = 135,7 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,5 + 0,25/(4,5·3) = 4,519 m
Odpowiedź
ycp = 4,519 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 171,3 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(200/75)² = 8,889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 8,889²)/1000 = −38,72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 210 + (−38,72) = 171,3 kPa
Odpowiedź
p2 = 171,3 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 15,06 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Prędkość w wężu
Powierzchnia i wylot są otwarte do atmosfery, więc wyrazy ciśnieniowe się znoszą.
v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·v = 0,001963·7,672 = 0,01506 m³/s = 15,06 L/s
Odpowiedź
Q = 15,06 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 4,958 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,2)·2,546²/(2·9,81) = 4,958 m
Odpowiedź
hf = 4,958 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Δz = 9,168 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Współczynniki strat
f·L/D = 0,015·300/0,25 = 18
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Całkowita strata wysokości
hf = 18·0,3046 = 5,483 m
hm = 12,1·0,3046 = 3,686 m
Δz = hf + hm = 9,168 m
Odpowiedź
Δz = 9,168 m
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: η = 77,7 %
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·16 = 7,848 kW
Sprawność
η = Ph/Pshaft = 7,848/10,1 = 77,7%
Odpowiedź
η = 77,7%
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 13,58 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0,1354 = 2,708 m
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + hL = 12 + 2,708 = 14,71 m
Moc na wale
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·14,71/0,85 = 13,58 kW
Odpowiedź
Pshaft = 13,58 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 2,466 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m
Prędkość
V = (1/0,013)·0,32/3·0,0041/2 = 2,18 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 1,131·2,18 = 2,466 m³/s
Odpowiedź
Q = 2,466 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,0005032 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·1)·1 = 5,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1·√(1 + 1,5²) = 7,606 m
R = A/P = 0,7232 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·7,1/(5,5·0,8057) = 0,02243
S = 0,02243² = 0,0005032
Odpowiedź
S = 0,0005032
To spadek o 0,5032 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering