Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 200 mm do 100 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 370 kPa, a prędkość 3 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 370 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 50 mm i wznosi się o 7 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 290 kPa, a prędkość 2 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,4 m/s przez poziomą rurę o długości 50 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,4 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 0,2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 70% tłoczy 25 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 36 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 25 L/sH = 36 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 120 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 26 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 120 L/sΔz = 26 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (czysty grunt) ma szerokość 1 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,8 m. Współczynnik Manninga n = 0,022, a spadek dna S = 0,0008. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 1 my = 1,8 mn = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (żwir) o szerokości dna 3,5 m i nachyleniu skarp 2:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 8,9 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 0,9 m. Współczynnik Manninga n = 0,025. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 8,9 m³/sb = 3,5 my = 0,9 mz = 2n = 0,025

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 79,71 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN

Odpowiedź

F = 79,71 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 29,43 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1 = 29,43 kN

Odpowiedź

F = 29,43 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 302,5 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(200/100)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−67,5) = 302,5 kPa

Odpowiedź

p₂ = 302,5 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 191,3 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/50)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−30) − 68,67 = 191,3 kPa

Odpowiedź

p₂ = 191,3 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 9,8 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,15)·1,4²/(2·9,81) = 0,999 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,999 = 9800 Pa = 9,8 kPa

Odpowiedź

Δp = 9,8 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 1,773 m

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 = 1,3

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 10,8 + 1,3)·0,1354 = 1,773 m

Odpowiedź

H = 1,773 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 12,61 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·36 = 8,829 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 8,829/0,7 = 12,61 kW

Odpowiedź

P_shaft = 12,61 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 32,09 m

Prędkość

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0,3046 = 6,092 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 26 + 6,092 = 32,09 m

Odpowiedź

H = 32,09 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 1,238 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 1·1,8 = 1,8 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,8 = 4,6 m

R = A/P = 0,3913 m

Prędkość

V = (1/0,022)·0,3913^2/3·0,0008^1/2 = 0,6878 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 1,8·0,6878 = 1,238 m³/s

Odpowiedź

Q = 1,238 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,003996 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·0,9)·0,9 = 4,77 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,9·√(1 + 2²) = 7,525 m

R = A/P = 0,6339 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·8,9/(4,77·0,7379) = 0,06321

S = 0,06321² = 0,003996

Odpowiedź

S = 0,003996

To spadek o 3,996 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering