Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 2 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 2 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
d1​ = 80 mmd2​ = 40 mm12p1​ − p2​ = 60 kPaQ = ?

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 80 mm i średnicy gardzieli 40 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 60 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d1 = 80 mmd2 = 40 mmp1 − p2 = 60 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12Δh = 340 mmrtęćQ = ?

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 100 mm, gardziel 60 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 340 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,97. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d1 = 100 mmd2 = 60 mmΔh = 340 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 2,9 m/sD = 150 mmL = 400 mf = 0,018

Woda płynie z prędkością średnią 2,9 m/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

V = 2,9 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 5swobodny wypływH = ?L = 300 m, D = 200 mm, f = 0,0182× kolano (K = 0,3)

Rura o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 5). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 40 L/sH = 78 m

Pompa o sprawności 75% tłoczy 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 78 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale Pshaft, w kW.

Q = 40 L/sH = 78 mη = 75%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 120 L/sΔz = 18 mL = 150 m, D = 250 mm, f = 0,015, ΣK = 5

Pompa przetłacza 120 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 18 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 120 L/sΔz = 18 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
D = 1200 mmn = 0,013, S = 0,002

Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 1200 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,002
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 200 mmn = 0,013, V = 1 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 1 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 79,71 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
zasuwad = 2 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN

Odpowiedź

F = 79,71 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 200,9 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
zasuwad = 2 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,25·5 = 200,9 kN

Odpowiedź

F = 200,9 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 14,22 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v1 = v2·(40/80)² = 0,25·v2

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·60000/(1000·(1 − 0,0625))) = 11,31 m/s
v1 = 2,828 m/s

Natężenie przepływu

Q = A2·v2 = 0,001257·11,31 = 0,01422 m³/s = 14,22 L/s

Odpowiedź

Q = 14,22 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 26,95 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,34 = 42026 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 60/100 = 0,6
v2 = √(2·42026/(1000·(1 − 0,1296))) = 9,827 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,002827·9,827 = 0,02695 m³/s = 26,95 L/s

Odpowiedź

Q = 26,95 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 20,57 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,9²/(2·9,81) = 0,4286 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,15)·2,9²/(2·9,81) = 20,57 m

Odpowiedź

hf = 20,57 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 9,906 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·300/0,2 = 27
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 27 + 6,1)·0,2905 = 9,906 m

Odpowiedź

H = 9,906 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pshaft = 40,81 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·78 = 30,61 kW

Moc na wale

Pshaft = Ph/η = 30,61/0,75 = 40,81 kW

Odpowiedź

Pshaft = 40,81 kW
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 22,26 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0,3046 = 4,264 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + hL = 18 + 4,264 = 22,26 m

Odpowiedź

H = 22,26 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 1,744 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m

Prędkość

V = (1/0,013)·0,32/3·0,0021/2 = 1,542 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 1,131·1,542 = 1,744 m³/s

Odpowiedź

Q = 1,744 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,009175 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1/0,1357)² = 0,009175

Odpowiedź

S = 0,009175

To spadek o 9,175 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering