Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 200 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 150 mm do 100 mm i wznosi się o 10 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 280 kPa, a prędkość 1,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 280 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,3 m/s przez poziomą rurę o długości 500 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,3 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 60 m, a jej wał pobiera 47,1 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 60 L/sH = 60 mP_shaft = 47,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 14 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 85%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 60 L/sΔz = 14 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6η = 85%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (mur ceglany) ma szerokość dna 2,5 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,0005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 2,5 my = 1,5 mz = 3n = 0,015S = 0,0005

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Prostokątny kanał (wygładzony beton) o szerokości 3,5 m ma przeprowadzić 4,9 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 0,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,012. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 4,9 m³/sb = 3,5 my = 0,5 mn = 0,012

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 79,71 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN

Odpowiedź

F = 79,71 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 40,22 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·2 = 40,22 kN

Odpowiedź

F = 40,22 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 199,5 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(75/50)² = 1,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 1,125²)/1000 = −0,5078 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−0,5078) = 199,5 kPa

Odpowiedź

p₂ = 199,5 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 177,3 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(150/100)² = 3,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−4,57) − 98,1 = 177,3 kPa

Odpowiedź

p₂ = 177,3 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 42,25 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,25)·1,3²/(2·9,81) = 4,307 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,307 = 42250 Pa = 42,25 kPa

Odpowiedź

Δp = 42,25 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 7,403 m

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 18 + 3,4)·0,3305 = 7,403 m

Odpowiedź

H = 7,403 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 74,98 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·60 = 35,32 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 35,32/47,1 = 74,98%

Odpowiedź

η = 74,98%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 11,43 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 6)·0,1859 = 2,51 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 14 + 2,51 = 16,51 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·16,51/0,85 = 11,43 kW

Odpowiedź

P_shaft = 11,43 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 14,33 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,5)·1,5 = 10,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,5·√(1 + 3²) = 11,99 m

R = A/P = 0,876 m

Prędkość

V = (1/0,015)·0,876^2/3·0,0005^1/2 = 1,365 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 10,5·1,365 = 14,33 m³/s

Odpowiedź

Q = 14,33 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,003977 m/m

Geometria

A = b·y = 3,5·0,5 = 1,75 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·0,5 = 4,5 m

R = A/P = 0,3889 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·4,9/(1,75·0,5328) = 0,06307

S = 0,06307² = 0,003977

Odpowiedź

S = 0,003977

To spadek o 3,977 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering