Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 25 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 160 kPa, a prędkość 1 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 160 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Dysza fontanny jest skierowana pionowo w górę. Tuż pod dyszą rura zasilająca ma średnicę 75 mm i nadciśnienie 20 kPa. Średnica wylotu dyszy wynosi 40 mm, a różnica wysokości na długości dyszy jest pomijalna. Pomijając straty i opór powietrza, wyznacz wysokość H, na jaką strumień wznosi się nad dyszę. Przyjmij g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 20 kPa (nadciśnienie)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 2 L/s przez rurę o długości 50 m i średnicy wewnętrznej 50 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 2 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,025. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 26 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 26 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Podczas próby pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 20 m, a jej wał pobiera 3,5 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.
Q = 15 L/sH = 20 mPshaft = 3,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 15 m wyżej. Rura ma długość 300 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 75%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.
Q = 80 L/sΔz = 15 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6η = 75%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (wygładzony beton) ma szerokość dna 6 m i nachylenie skarp 1:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,012, a spadek dna S = 0,0005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 6 my = 1,3 mz = 1n = 0,012S = 0,0005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Trapezowy kanał (mur ceglany) o szerokości dna 5,5 m i nachyleniu skarp 3:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 74 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2,4 m. Współczynnik Manninga n = 0,015. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 74 m³/sb = 5,5 my = 2,4 mz = 3n = 0,015
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 110,4 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN
Odpowiedź
F = 110,4 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 29,43 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN
Odpowiedź
F = 29,43 kN
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 120 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/25)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 160 + (−40) = 120 kPa
Odpowiedź
p2 = 120 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: H = 2,218 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Prędkość wylotowa
β = 40/75 = 0,5333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0,9191)) = 6,597 m/s
Wysokość strumienia
Równanie Bernoulliego wzdłuż strumienia: w najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a ciśnienie znów jest atmosferyczne.
H = v2²/(2g) = 6,597²/(2·9,81) = 2,218 m
Odpowiedź
H = 2,218 m
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 0,9519 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,002/0,001963 = 1,019 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,05)·1,019²/(2·9,81) = 0,9519 m
Odpowiedź
hf = 0,9519 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 32,55 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
26 = (25 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·26/29,7) = 4,144 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 4,144·0,007854 = 0,03255 m³/s = 32,55 L/s
Odpowiedź
Q = 32,55 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: η = 84,09 %
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·20 = 2,943 kW
Sprawność
η = Ph/Pshaft = 2,943/3,5 = 84,09%
Odpowiedź
η = 84,09%
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 25,55 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 6)·0,3305 = 9,419 m
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + hL = 15 + 9,419 = 24,42 m
Moc na wale
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·24,42/0,75 = 25,55 kW
Odpowiedź
Pshaft = 25,55 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 17,46 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1,3)·1,3 = 9,49 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,3·√(1 + 1²) = 9,677 m
R = A/P = 0,9807 m
Prędkość
V = (1/0,012)·0,98072/3·0,00051/2 = 1,839 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 9,49·1,839 = 17,46 m³/s
Odpowiedź
Q = 17,46 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,0007906 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·2,4)·2,4 = 30,48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·2,4·√(1 + 3²) = 20,68 m
R = A/P = 1,474 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·74/(30,48·1,295) = 0,02812
S = 0,02812² = 0,0007906
Odpowiedź
S = 0,0007906
To spadek o 0,7906 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering