Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 200 mm do 100 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 230 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 230 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Wąż o średnicy wewnętrznej 32 mm działa jak lewar i odprowadza wodę z otwartego zbiornika. Najwyższy punkt węża C leży 1,5 m nad powierzchnią wody, a wylot (otwarty do atmosfery) 3,5 m pod powierzchnią wody. Pomiń straty i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q.
d = 32 mmzC = +1,5 mz2 = −3,5 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 4 L/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 50 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 4 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 20 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 20 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa tłoczy 30 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 16 m. Sprawność pompy wynosi 65%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 88%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.
Q = 30 L/sH = 16 mηpump = 65%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 14 m wyżej. Rura ma długość 500 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (mur ceglany) ma szerokość dna 4 m i nachylenie skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,0005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 4 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,015S = 0,0005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (niewygładzony beton) o szerokości 3 m ma przeprowadzić 4,1 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 0,7 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 4,1 m³/sb = 3 my = 0,7 mn = 0,014
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 143,5 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN
Odpowiedź
F = 143,5 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 181 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·6 = 181 kN
Odpowiedź
F = 181 kN
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 228,1 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(200/100)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 230 + (−1,875) = 228,1 kPa
Odpowiedź
p2 = 228,1 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 6,665 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Prędkość w wężu
Powierzchnia i wylot są otwarte do atmosfery, więc wyrazy ciśnieniowe się znoszą.
v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·v = 0,0008042·8,287 = 0,006665 m³/s = 6,665 L/s
Odpowiedź
Q = 6,665 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 6,346 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 6,346 m
Odpowiedź
hf = 6,346 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 29,89 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
20 = (15 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·20/27,1) = 3,805 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 3,805·0,007854 = 0,02989 m³/s = 29,89 L/s
Odpowiedź
Q = 29,89 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pel = 8,232 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·16 = 4,709 kW
Moc na wale
Pshaft = 4,709/0,65 = 7,244 kW
Moc elektryczna
Pel = 7,244/0,88 = 8,232 kW
Odpowiedź
Pel = 8,232 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 30,53 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 5)·0,3305 = 16,53 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.
H = Δz + hL = 14 + 16,53 = 30,53 m
Odpowiedź
H = 30,53 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 1,952 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·0,5)·0,5 = 2,375 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 5,803 m
R = A/P = 0,4093 m
Prędkość
V = (1/0,015)·0,40932/3·0,00051/2 = 0,8218 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 2,375·0,8218 = 1,952 m³/s
Odpowiedź
Q = 1,952 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,002003 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 3·0,7 = 2,1 m²
P = b + 2y = 3 + 2·0,7 = 4,4 m
R = A/P = 0,4773 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·4,1/(2,1·0,6107) = 0,04476
S = 0,04476² = 0,002003
Odpowiedź
S = 0,002003
To spadek o 2,003 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering