Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 150 mm i średnicy gardzieli 100 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 48 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 48 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 75 mm do 40 mm i wznosi się o 3 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 340 kPa, a prędkość 2,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 340 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 50 L/s przez rurę o długości 1000 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 50 L/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 14 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 14 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Podczas próby pompa tłoczy 30 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 42 m, a jej wał pobiera 17,7 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.
Q = 30 L/sH = 42 mPshaft = 17,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 21 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 400 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5ptank = 400 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (czysty grunt) ma szerokość dna 6 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,6 m. Współczynnik Manninga n = 0,022, a spadek dna S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 6 my = 1,6 mz = 3n = 0,022S = 0,004
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (wygładzony beton) o szerokości 3,5 m ma przeprowadzić 23 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,9 m. Współczynnik Manninga n = 0,012. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 23 m³/sb = 3,5 my = 1,9 mn = 0,012
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 44,15 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN
Odpowiedź
F = 44,15 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 2,481 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·7,5 = 165,5 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,25 + 3,906/(2,25·7,5) = 2,481 m
Odpowiedź
ycp = 2,481 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 85,9 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Ciągłość
v1 = v2·(100/150)² = 0,4444·v2
Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą
Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·48000/(1000·(1 − 0,1975))) = 10,94 m/s
v1 = 4,861 m/s
Natężenie przepływu
Q = A2·v2 = 0,007854·10,94 = 0,0859 m³/s = 85,9 L/s
Odpowiedź
Q = 85,9 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 267,6 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(75/40)² = 9,668 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 9,668²)/1000 = −42,95 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 340 + (−42,95) − 29,43 = 267,6 kPa
Odpowiedź
p2 = 267,6 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 54,4 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,15)·2,829²/(2·9,81) = 54,4 m
Odpowiedź
hf = 54,4 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 54,67 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
14 = (24 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·14/28,7) = 3,094 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 3,094·0,01767 = 0,05467 m³/s = 54,67 L/s
Odpowiedź
Q = 54,67 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: η = 69,83 %
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·42 = 12,36 kW
Sprawność
η = Ph/Pshaft = 12,36/17,7 = 69,83%
Odpowiedź
η = 69,83%
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 69,94 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,408 = 8,161 m
Wysokość ciśnienia
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 21 + 40,77 + 8,161 = 69,94 m
Odpowiedź
H = 69,94 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 52,03 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (6 + 3·1,6)·1,6 = 17,28 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 16,12 m
R = A/P = 1,072 m
Prędkość
V = (1/0,022)·1,0722/3·0,0041/2 = 3,011 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 17,28·3,011 = 52,03 m³/s
Odpowiedź
Q = 52,03 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,001951 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 3,5·1,9 = 6,65 m²
P = b + 2y = 3,5 + 2·1,9 = 7,3 m
R = A/P = 0,911 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·23/(6,65·0,9397) = 0,04417
S = 0,04417² = 0,001951
Odpowiedź
S = 0,001951
To spadek o 1,951 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering