Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Rurka Prandtla w tunelu aerodynamicznym wskazuje różnicę 450 Pa między ciśnieniem spiętrzenia a ciśnieniem statycznym. Gęstość powietrza wynosi 1,2 kg/m³. Wyznacz prędkość powietrza v.

p₀ − p = 450 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Dysza fontanny jest skierowana pionowo w górę. Tuż pod dyszą rura zasilająca ma średnicę 50 mm i nadciśnienie 40 kPa. Średnica wylotu dyszy wynosi 20 mm, a różnica wysokości na długości dyszy jest pomijalna. Pomijając straty i opór powietrza, wyznacz wysokość H, na jaką strumień wznosi się nad dyszę. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 40 kPa (nadciśnienie)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 15 L/s przez rurę o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 15 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 5). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 24 m. Sprawność pompy wynosi 72%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 95%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 40 L/sH = 24 mη_pump = 72%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 25 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 85%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 80 L/sΔz = 25 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (czysty grunt) ma szerokość dna 4 m i nachylenie skarp 1:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,4 m. Współczynnik Manninga n = 0,022, a spadek dna S = 0,003. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 4 my = 1,4 mz = 1n = 0,022S = 0,003

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (niewygładzony beton) o szerokości dna 1,5 m i nachyleniu skarp 1:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 4,8 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 4,8 m³/sb = 1,5 my = 1 mz = 1n = 0,014

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 220,7 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·9 = 220,7 kN

Odpowiedź

F = 220,7 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 37,08 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,5·2 = 37,08 kN

Odpowiedź

F = 37,08 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 27,39 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego do punktu spiętrzenia

Przepływ zatrzymuje się przy końcówce, więc jego energia kinetyczna ujawnia się jako dodatkowe ciśnienie.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·450/1,2) = 27,39 m/s

Odpowiedź

v = 27,39 m/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: H = 4,185 m

Prędkość wylotowa

β = 20/50 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9744)) = 9,061 m/s

Wysokość strumienia

Równanie Bernoulliego wzdłuż strumienia: w najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a ciśnienie znów jest atmosferyczne.

H = v₂²/(2g) = 9,061²/(2·9,81) = 4,185 m

Odpowiedź

H = 4,185 m

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 0,661 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,15)·0,8488²/(2·9,81) = 0,661 m

Odpowiedź

h_f = 0,661 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 1,153 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 14,4 + 6,4)·0,05288 = 1,153 m

Odpowiedź

H = 1,153 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 13,77 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·24 = 9,418 kW

Moc na wale

P_shaft = 9,418/0,72 = 13,08 kW

Moc elektryczna

P_el = 13,08/0,95 = 13,77 kW

Odpowiedź

P_el = 13,77 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 30,56 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 8)·0,3305 = 8,097 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 25 + 8,097 = 33,1 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·33,1/0,85 = 30,56 kW

Odpowiedź

P_shaft = 30,56 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 18,19 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1,4)·1,4 = 7,56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,4·√(1 + 1²) = 7,96 m

R = A/P = 0,9498 m

Prędkość

V = (1/0,022)·0,9498^2/3·0,003^1/2 = 2,406 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 7,56·2,406 = 18,19 m³/s

Odpowiedź

Q = 18,19 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,001502 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·1)·1 = 2,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1·√(1 + 1²) = 4,328 m

R = A/P = 0,5776 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·4,8/(2,5·0,6935) = 0,03876

S = 0,03876² = 0,001502

Odpowiedź

S = 0,001502

To spadek o 1,502 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering