Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 4 mH = 3 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 1,5 mH = 3 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.

d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Q = ?d = 50 mm, Cd​ = 0,61h = 1,5 m

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 50 mm. Poziom wody utrzymuje się 1,5 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,61. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 1,5 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
pair​ = 130 kPav = ?d = 25 mmh = 1 m

Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 130 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 25 mm, położony 1 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz prędkość strumienia v. Przyjmij g = 9,81 m/s².

pair = 130 kPa (nadciśnienie)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 1,1 m/sD = 100 mmL = 500 mf = 0,02

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,1 m/s przez poziomą rurę o długości 500 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,1 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 5Δz = 31 mL = 200 m, D = 100 mm, f = 0,0152× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 31 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 31 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 150 L/sH = 26 m

Pompa tłoczy 150 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 26 m. Sprawność pompy wynosi 80%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 95%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 150 L/sH = 26 mηpump = 80%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 40 L/sΔz = 5 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0,015, ΣK = 8

Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 78%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 78%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 2,5 my = 0,8 m3 : 1n = 0,025, S = 0,001

Trapezowy kanał (żwir) ma szerokość dna 2,5 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,8 m. Współczynnik Manninga n = 0,025, a spadek dna S = 0,001. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 2,5 my = 0,8 mz = 3n = 0,025S = 0,001
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
b = 5 my = 2,2 m1 : 1n = 0,014, Q = 32 m³/s

Trapezowy kanał (niewygładzony beton) o szerokości dna 5 m i nachyleniu skarp 1:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 32 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 32 m³/sb = 5 my = 2,2 mz = 1n = 0,014
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 485,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
zasuwad = 4 mH = 3 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN

Odpowiedź

F = 485,6 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: ycp = 3,25 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
zasuwad = 1,5 mH = 3 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·9 = 233,1 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 6,75/(3·9) = 3,25 m

Odpowiedź

ycp = 3,25 m
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 6,498 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,001963·5,425 = 0,006498 m³/s = 6,498 L/s

Odpowiedź

Q = 6,498 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 16,72 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia

v = √(2·(130000/1000 + 9,81·1)) = 16,72 m/s

Odpowiedź

v = 16,72 m/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 60,5 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 6,167 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·6,167 = 60500 Pa = 60,5 kPa

Odpowiedź

Δp = 60,5 kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 31,8 L/s

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·200/0,1 = 30
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

31 = (30 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·31/37,1) = 4,049 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 4,049·0,007854 = 0,0318 m³/s = 31,8 L/s

Odpowiedź

Q = 31,8 L/s
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pel = 50,34 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·26 = 38,26 kW

Moc na wale

Pshaft = 38,26/0,8 = 47,82 kW

Moc elektryczna

Pel = 47,82/0,95 = 50,34 kW

Odpowiedź

Pel = 50,34 kW
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pshaft = 3,16 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 8)·0,08263 = 1,281 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + hL = 5 + 1,281 = 6,281 m

Moc na wale

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·6,281/0,78 = 3,16 kW

Odpowiedź

Pshaft = 3,16 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 3,2 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·0,8)·0,8 = 3,92 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,8·√(1 + 3²) = 7,56 m
R = A/P = 0,5185 m

Prędkość

V = (1/0,025)·0,51852/3·0,0011/2 = 0,8164 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 3,92·0,8164 = 3,2 m³/s

Odpowiedź

Q = 3,2 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,0005052 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·2,2)·2,2 = 15,84 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,2·√(1 + 1²) = 11,22 m
R = A/P = 1,411 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·32/(15,84·1,258) = 0,02248
S = 0,02248² = 0,0005052

Odpowiedź

S = 0,0005052

To spadek o 0,5052 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering