Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 2 mH = 1 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 1,5 mH = 1 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
12d1​ = 75 mm, p1​ = 360 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 360 kPa, a prędkość 1,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 360 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
pair​ = 160 kPaQ = ?d = 30 mmh = 4,5 m

Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 160 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 30 mm, położony 4,5 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

pair = 160 kPa (nadciśnienie)h = 4,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Q = 6 L/sD = 75 mmL = 400 mf = 0,015

Woda płynie z natężeniem 6 L/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 75 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

Q = 6 L/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 2Δz = 7 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0,0223× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 7 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 7 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 25 L/sH = 60 m

Podczas próby pompa tłoczy 25 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 60 m, a jej wał pobiera 18,9 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 25 L/sH = 60 mPshaft = 18,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 40 L/sΔz = 5 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0,015, ΣK = 6

Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 300 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 80%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6η = 80%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 4 my = 1,3 mn = 0,025, S = 0,003

Prostokątny kanał (żwir) ma szerokość 4 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,025, a spadek dna S = 0,003. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 4 my = 1,3 mn = 0,025S = 0,003
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 600 mmn = 0,013, V = 1,2 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 600 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 24,52 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
zasuwad = 2 mH = 1 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Odpowiedź

F = 24,52 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: ycp = 2,042 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
zasuwad = 1,5 mH = 1 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2·3 = 74,16 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0,25/(2·3) = 2,042 m

Odpowiedź

ycp = 2,042 m
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p2 = 353,8 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(75/50)² = 3,938 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 3,938²)/1000 = −6,221 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 360 + (−6,221) = 353,8 kPa

Odpowiedź

p2 = 353,8 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 14,28 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia

v = √(2·(160000/1000 + 9,81·4,5)) = 20,21 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·v = 0,0007069·20,21 = 0,01428 m³/s = 14,28 L/s

Odpowiedź

Q = 14,28 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 7,521 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²
V = Q/A = 0,006/0,004418 = 1,358 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,358²/(2·9,81) = 0,09401 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,075)·1,358²/(2·9,81) = 7,521 m

Odpowiedź

hf = 7,521 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 47,43 L/s

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

7 = (14,67 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·7/19,07) = 2,684 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 2,684·0,01767 = 0,04743 m³/s = 47,43 L/s

Odpowiedź

Q = 47,43 L/s
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 77,86 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·60 = 14,71 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 14,71/18,9 = 77,86%

Odpowiedź

η = 77,86%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pshaft = 3,608 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 6)·0,08263 = 2,355 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + hL = 5 + 2,355 = 7,355 m

Moc na wale

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·7,355/0,8 = 3,608 kW

Odpowiedź

Pshaft = 3,608 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 9,718 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 4·1,3 = 5,2 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1,3 = 6,6 m
R = A/P = 0,7879 m

Prędkość

V = (1/0,025)·0,78792/3·0,0031/2 = 1,869 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 5,2·1,869 = 9,718 m³/s

Odpowiedź

Q = 9,718 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,003053 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,2823)² = 0,003053

Odpowiedź

S = 0,003053

To spadek o 3,053 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering