Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 190 kPa, a prędkość 2,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 190 kPav1 = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 200 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 25 mm, położony 5 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².
pair = 200 kPa (nadciśnienie)h = 5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z prędkością średnią 1,4 m/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
V = 1,4 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 300 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 32 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 32 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa tłoczy 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 54 m. Sprawność pompy wynosi 82%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 94%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.
Q = 40 L/sH = 54 mηpump = 82%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 18 m wyżej. Rura ma długość 500 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 100 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 20 L/sΔz = 18 mL = 500 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 300 mm jest wypełniony do połowy. Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,001. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
D = 300 mmn = 0,013S = 0,001
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (czysty grunt) o szerokości 4 m ma przeprowadzić 18 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,022. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 18 m³/sb = 4 my = 2,2 mn = 0,022
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 132,4 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN
Odpowiedź
F = 132,4 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 82,77 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN
Odpowiedź
F = 82,77 kN
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 177,3 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,5·(75/50)² = 5,625 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 190 + (−12,7) = 177,3 kPa
Odpowiedź
p2 = 177,3 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 10,96 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia
v = √(2·(200000/1000 + 9,81·5)) = 22,32 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·v = 0,0004909·22,32 = 0,01096 m³/s = 10,96 L/s
Odpowiedź
Q = 10,96 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 0,4995 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,3)·1,4²/(2·9,81) = 0,4995 m
Odpowiedź
hf = 0,4995 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 196,7 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
32 = (26,4 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·32/39,1) = 4,007 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 4,007·0,04909 = 0,1967 m³/s = 196,7 L/s
Odpowiedź
Q = 196,7 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pel = 27,49 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·54 = 21,19 kW
Moc na wale
Pshaft = 21,19/0,82 = 25,84 kW
Moc elektryczna
Pel = 25,84/0,94 = 27,49 kW
Odpowiedź
Pel = 27,49 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 60,58 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (90 + 8)·0,3305 = 32,39 m
Wysokość ciśnienia
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 18 + 10,19 + 32,39 = 60,58 m
Odpowiedź
H = 60,58 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 0,01529 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = 0,03534 m², R = D/4 = 0,075 m
Prędkość
V = (1/0,013)·0,0752/3·0,0011/2 = 0,4326 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 0,03534·0,4326 = 0,01529 m³/s
Odpowiedź
Q = 0,01529 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,001903 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 4·2,2 = 8,8 m²
P = b + 2y = 4 + 2·2,2 = 8,4 m
R = A/P = 1,048 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·18/(8,8·1,031) = 0,04363
S = 0,04363² = 0,001903
Odpowiedź
S = 0,001903
To spadek o 1,903 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering