Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 4 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 2,5 mH = 2,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
d1​ = 200 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 16 kPaQ = ?

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 200 mm i średnicy gardzieli 150 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 16 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 16 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12Δh = 160 mmrtęćQ = ?

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 100 mm, gardziel 60 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 160 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,99. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d1 = 100 mmd2 = 60 mmΔh = 160 mmCd = 0,99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 2,4 m/sD = 250 mmL = 500 mf = 0,022

Woda płynie z prędkością średnią 2,4 m/s przez rurę o długości 500 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

V = 2,4 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 10swobodny wypływH = ?L = 100 m, D = 200 mm, f = 0,0153× kolano (K = 0,3)

Rura o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 10). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 15 L/sH = 52 m

Podczas próby pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 52 m, a jej wał pobiera 10,2 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 15 L/sH = 52 mPshaft = 10,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
300 kPa (nadciśnienie)PQ = 60 L/sΔz = 8 mL = 400 m, D = 200 mm, f = 0,022, ΣK = 5

Pompa przetłacza 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 8 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 300 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5ptank = 300 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 3 my = 0,7 m3 : 1n = 0,025, S = 0,002

Trapezowy kanał (żwir) ma szerokość dna 3 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,7 m. Współczynnik Manninga n = 0,025, a spadek dna S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 3 my = 0,7 mz = 3n = 0,025S = 0,002
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 200 mmn = 0,013, V = 1,2 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 193,1 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
zasuwad = 4 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Odpowiedź

F = 193,1 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: ycp = 3,889 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
zasuwad = 2,5 mH = 2,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,75·7,5 = 347,6 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

Ic = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 3,906/(3,75·7,5) = 3,889 m

Odpowiedź

ycp = 3,889 m
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 120,9 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·16000/(1000·(1 − 0,3164))) = 6,842 m/s
v1 = 3,849 m/s

Natężenie przepływu

Q = A2·v2 = 0,01767·6,842 = 0,1209 m³/s = 120,9 L/s

Odpowiedź

Q = 120,9 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 18,87 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,16 = 19777 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 60/100 = 0,6
v2 = √(2·19777/(1000·(1 − 0,1296))) = 6,741 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = Cd·A2·v2 = 0,99·0,002827·6,741 = 0,01887 m³/s = 18,87 L/s

Odpowiedź

Q = 18,87 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 12,92 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,25)·2,4²/(2·9,81) = 12,92 m

Odpowiedź

hf = 12,92 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 10,28 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 7,5 + 11,4)·0,5164 = 10,28 m

Odpowiedź

H = 10,28 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 75,02 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·52 = 7,652 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 7,652/10,2 = 75,02%

Odpowiedź

η = 75,02%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 47,69 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 5)·0,1859 = 9,11 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 30,58 + 9,11 = 47,69 m

Odpowiedź

H = 47,69 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 3,919 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·0,7)·0,7 = 3,57 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 7,427 m
R = A/P = 0,4807 m

Prędkość

V = (1/0,025)·0,48072/3·0,0021/2 = 1,098 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 3,57·1,098 = 3,919 m³/s

Odpowiedź

Q = 3,919 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,01321 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1357)² = 0,01321

Odpowiedź

S = 0,01321

To spadek o 13,21 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering