Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 30 mm. Poziom wody utrzymuje się 4,5 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,63. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².
d = 30 mmh = 4,5 mCd = 0,63g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 140 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 25 mm, położony 2,5 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².
pair = 140 kPa (nadciśnienie)h = 2,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 60 L/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 60 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 12 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 12 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 62 m. Sprawność pompy wynosi 70%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 92%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.
Q = 60 L/sH = 62 mηpump = 70%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 10 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 3 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 75%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.
Q = 20 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 3η = 75%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (niewygładzony beton) ma szerokość dna 4 m i nachylenie skarp 1:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,8 m. Współczynnik Manninga n = 0,014, a spadek dna S = 0,0005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 4 my = 1,8 mz = 1n = 0,014S = 0,0005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 58,86 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN
Odpowiedź
F = 58,86 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 1,722 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·4 = 58,86 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,5 + 1,333/(1,5·4) = 1,722 m
Odpowiedź
ycp = 1,722 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 4,184 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Idealna prędkość strumienia
√(2gh) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s
Rzeczywiste natężenie przepływu
Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,63·0,0007069·9,396 = 0,004184 m³/s = 4,184 L/s
Odpowiedź
Q = 4,184 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 8,904 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia
v = √(2·(140000/1000 + 9,81·2,5)) = 18,14 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·v = 0,0004909·18,14 = 0,008904 m³/s = 8,904 L/s
Odpowiedź
Q = 8,904 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 0,7345 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,06/0,07069 = 0,8488 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,3)·0,8488²/(2·9,81) = 0,7345 m
Odpowiedź
hf = 0,7345 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 164,8 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,022·100/0,25 = 8,8
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
12 = (8,8 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·12/20,9) = 3,356 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 3,356·0,04909 = 0,1648 m³/s = 164,8 L/s
Odpowiedź
Q = 164,8 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pel = 56,67 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·62 = 36,49 kW
Moc na wale
Pshaft = 36,49/0,7 = 52,13 kW
Moc elektryczna
Pel = 52,13/0,92 = 56,67 kW
Odpowiedź
Pel = 56,67 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 4,172 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 3)·0,3305 = 5,949 m
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + hL = 10 + 5,949 = 15,95 m
Moc na wale
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·15,95/0,75 = 4,172 kW
Odpowiedź
Pshaft = 4,172 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 18,29 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1,8)·1,8 = 10,44 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,8·√(1 + 1²) = 9,091 m
R = A/P = 1,148 m
Prędkość
V = (1/0,014)·1,1482/3·0,00051/2 = 1,752 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 10,44·1,752 = 18,29 m³/s
Odpowiedź
Q = 18,29 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,01321 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Promień hydrauliczny
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1357)² = 0,01321
Odpowiedź
S = 0,01321
To spadek o 13,21 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering