Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 200 mm i średnicy gardzieli 150 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 14 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 14 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 75 mm do 50 mm i wznosi się o 8 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 260 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 260 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 20 L/s przez rurę o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 20 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 300 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 100 L/s?
Q = 100 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompy i moc pompŚredni
Podczas próby pompa tłoczy 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 24 m, a jej wał pobiera 13,5 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.
Q = 40 L/sH = 24 mPshaft = 13,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 25 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 80%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.
Q = 40 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8η = 80%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Prostokątny kanał (wygładzony beton) ma szerokość 1,5 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2 m. Współczynnik Manninga n = 0,012, a spadek dna S = 0,0008. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 1,5 my = 2 mn = 0,012S = 0,0008
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (niewygładzony beton) o szerokości 5 m ma przeprowadzić 9,3 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 0,6 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 9,3 m³/sb = 5 my = 0,6 mn = 0,014
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 176,6 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN
Odpowiedź
F = 176,6 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 58,86 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN
Odpowiedź
F = 58,86 kN
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 113,1 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Ciągłość
v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2
Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą
Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·14000/(1000·(1 − 0,3164))) = 6,4 m/s
v1 = 3,6 m/s
Natężenie przepływu
Q = A2·v2 = 0,01767·6,4 = 0,1131 m³/s = 113,1 L/s
Odpowiedź
Q = 113,1 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 178,3 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(75/50)² = 2,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 2,813²)/1000 = −3,174 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 260 + (−3,174) − 78,48 = 178,3 kPa
Odpowiedź
p2 = 178,3 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 1,741 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,15)·1,132²/(2·9,81) = 1,741 m
Odpowiedź
hf = 1,741 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Δz = 6,198 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Współczynniki strat
f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Całkowita strata wysokości
hf = 21,6·0,2115 = 4,569 m
hm = 7,7·0,2115 = 1,629 m
Δz = hf + hm = 6,198 m
Odpowiedź
Δz = 6,198 m
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: η = 69,76 %
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·24 = 9,418 kW
Sprawność
η = Ph/Pshaft = 9,418/13,5 = 69,76%
Odpowiedź
η = 69,76%
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pshaft = 15,85 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,2611 = 7,312 m
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + hL = 25 + 7,312 = 32,31 m
Moc na wale
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·32,31/0,8 = 15,85 kW
Odpowiedź
Pshaft = 15,85 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 4,721 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 1,5·2 = 3 m²
P = b + 2y = 1,5 + 2·2 = 5,5 m
R = A/P = 0,5455 m
Prędkość
V = (1/0,012)·0,54552/3·0,00081/2 = 1,574 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 3·1,574 = 4,721 m³/s
Odpowiedź
Q = 4,721 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,004958 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 5·0,6 = 3 m²
P = b + 2y = 5 + 2·0,6 = 6,2 m
R = A/P = 0,4839 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·9,3/(3·0,6163) = 0,07042
S = 0,07042² = 0,004958
Odpowiedź
S = 0,004958
To spadek o 4,958 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering