Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 250 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 250 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 100 mm, gardziel 50 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 140 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,97. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 140 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 1,4 m/s przez rurę o długości 1000 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 1,4 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 8 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 0,2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 8 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 44 m. Sprawność pompy wynosi 85%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 90%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 15 L/sH = 44 mη_pump = 85%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 82%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (niewygładzony beton) ma szerokość 6 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,014, a spadek dna S = 0,0015. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 6 my = 2,5 mn = 0,014S = 0,0015

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Prostokątny kanał (mur ceglany) o szerokości 4 m ma przeprowadzić 5,2 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,1 m. Współczynnik Manninga n = 0,015. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 5,2 m³/sb = 4 my = 1,1 mn = 0,015

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 66,22 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN

Odpowiedź

F = 66,22 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 1,722 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·6 = 90,5 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 2/(1,5·6) = 1,722 m

Odpowiedź

y_cp = 1,722 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 238,3 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(150/75)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−11,72) = 238,3 kPa

Odpowiedź

p₂ = 238,3 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 11,57 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,14 = 17305 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 50/100 = 0,5

v₂ = √(2·17305/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,076 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,001963·6,076 = 0,01157 m³/s = 11,57 L/s

Odpowiedź

Q = 11,57 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 9,99 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,2)·1,4²/(2·9,81) = 9,99 m

Odpowiedź

h_f = 9,99 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 221,9 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

8 = (13,33 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·8/15,93) = 3,139 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 3,139·0,07069 = 0,2219 m³/s = 221,9 L/s

Odpowiedź

Q = 221,9 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 8,464 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·44 = 6,475 kW

Moc na wale

P_shaft = 6,475/0,85 = 7,617 kW

Moc elektryczna

P_el = 7,617/0,9 = 8,464 kW

Odpowiedź

P_el = 8,464 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 17,96 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (53,33 + 8)·0,408 = 25,03 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 5 + 25,03 = 30,03 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·30,03/0,82 = 17,96 kW

Odpowiedź

P_shaft = 17,96 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 51,03 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 6·2,5 = 15 m²

P = b + 2y = 6 + 2·2,5 = 11 m

R = A/P = 1,364 m

Prędkość

V = (1/0,014)·1,364^2/3·0,0015^1/2 = 3,402 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 15·3,402 = 51,03 m³/s

Odpowiedź

Q = 51,03 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,0004964 m/m

Geometria

A = b·y = 4·1,1 = 4,4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,1 = 6,2 m

R = A/P = 0,7097 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·5,2/(4,4·0,7956) = 0,02228

S = 0,02228² = 0,0004964

Odpowiedź

S = 0,0004964

To spadek o 0,4964 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering