Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 220 kPa, a prędkość 1 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 220 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 250 mm, gardziel 125 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 110 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,95. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 110 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,7 m/s przez poziomą rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,7 m/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 300 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 70 m. Sprawność pompy wynosi 82%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 94%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 100 L/sH = 70 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 75 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 8 m wyżej. Rura ma długość 300 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 5

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 450 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (niewygładzony beton) o szerokości dna 2 m i nachyleniu skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 9,2 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 9,2 m³/sb = 2 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,014

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 309 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Odpowiedź

F = 309 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 88,29 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Odpowiedź

F = 88,29 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 218 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/50)² = 2,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 2,25²)/1000 = −2,031 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−2,031) = 218 kPa

Odpowiedź

p₂ = 218 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 62,79 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,11 = 13597 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·13597/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,386 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,01227·5,386 = 0,06279 m³/s = 62,79 L/s

Odpowiedź

Q = 62,79 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 43,35 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,2)·1,7²/(2·9,81) = 4,419 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,419 = 43350 Pa = 43,35 kPa

Odpowiedź

Δp = 43,35 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 1,789 m

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Całkowita strata wysokości

h_f = 20·0,06529 = 1,306 m

h_m = 7,4·0,06529 = 0,4831 m

Δz = h_f + h_m = 1,789 m

Odpowiedź

Δz = 1,789 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 89,09 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·70 = 68,67 kW

Moc na wale

P_shaft = 68,67/0,82 = 83,74 kW

Moc elektryczna

P_el = 83,74/0,94 = 89,09 kW

Odpowiedź

P_el = 89,09 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 11,74 m

Prędkość

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,4 + 5)·0,119 = 3,736 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 8 + 3,736 = 11,74 m

Odpowiedź

H = 11,74 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 0,1803 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Prędkość

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,004^1/2 = 1,134 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 0,159·1,134 = 0,1803 m³/s

Odpowiedź

Q = 0,1803 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,0004987 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·1,5)·1,5 = 6,375 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 7,408 m

R = A/P = 0,8605 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·9,2/(6,375·0,9047) = 0,02233

S = 0,02233² = 0,0004987

Odpowiedź

S = 0,0004987

To spadek o 0,4987 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering