Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 1 mH = 1 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 0,5 mH = 1,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
12d1​ = 75 mm, p1​ = 400 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 25 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 400 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 400 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
pair​ = 150 kPav = ?d = 50 mmh = 3,5 m

Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 150 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 50 mm, położony 3,5 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz prędkość strumienia v. Przyjmij g = 9,81 m/s².

pair = 150 kPa (nadciśnienie)h = 3,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
V = 1,9 m/sD = 300 mmL = 100 mf = 0,028

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,9 m/s przez poziomą rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,028 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,9 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 5Δz = ?L = 100 m, D = 200 mm, f = 0,0223× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 200 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 15 L/sH = 70 m

Podczas próby pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 70 m, a jej wał pobiera 15,8 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 15 L/sH = 70 mPshaft = 15,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
250 kPa (nadciśnienie)PQ = 120 L/sΔz = 16 mL = 150 m, D = 250 mm, f = 0,018, ΣK = 6

Pompa przetłacza 120 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 16 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 250 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 120 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6ptank = 250 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 1,5 my = 0,9 m1,5 : 1n = 0,015, S = 0,0015

Trapezowy kanał (mur ceglany) ma szerokość dna 1,5 m i nachylenie skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,9 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,0015. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 1,5 my = 0,9 mz = 1,5n = 0,015S = 0,0015
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 250 mmn = 0,013, V = 0,9 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,9 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 14,71 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
zasuwad = 1 mH = 1 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·1 = 14,71 kN

Odpowiedź

F = 14,71 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 36,79 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
zasuwad = 0,5 mH = 1,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,25·3 = 36,79 kN

Odpowiedź

F = 36,79 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p2 = 390 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(75/25)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 400 + (−10) = 390 kPa

Odpowiedź

p2 = 390 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 19,2 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·3,5)) = 19,2 m/s

Odpowiedź

v = 19,2 m/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 16,85 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,3)·1,9²/(2·9,81) = 1,717 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,717 = 16847 Pa = 16,85 kPa

Odpowiedź

Δp = 16,85 kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 9,502 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Całkowita strata wysokości

hf = 11·0,5164 = 5,681 m
hm = 7,4·0,5164 = 3,821 m
Δz = hf + hm = 9,502 m

Odpowiedź

Δz = 9,502 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 65,19 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·70 = 10,3 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 10,3/15,8 = 65,19%

Odpowiedź

η = 65,19%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 46,6 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10,8 + 6)·0,3046 = 5,117 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 16 + 25,48 + 5,117 = 46,6 m

Odpowiedź

H = 46,6 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 4,395 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·0,9)·0,9 = 2,565 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·0,9·√(1 + 1,5²) = 4,745 m
R = A/P = 0,5406 m

Prędkość

V = (1/0,015)·0,54062/3·0,00151/2 = 1,713 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 2,565·1,713 = 4,395 m³/s

Odpowiedź

Q = 4,395 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,005519 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,1575)² = 0,005519

Odpowiedź

S = 0,005519

To spadek o 5,519 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering