W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €1 000 przy stopie 8 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 15 latach.
PV = €1 000r = 8%t = 15
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €15 000 przy 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €200 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €15 000A = €2006% / 12
N = raty
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 8%YTM = 5,5%n = 12
P = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €950 przy rentowności do wykupu 6% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 8,5 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 25 punktów bazowych.
P0 = €950y = 6%D = 8,5Δy = −25 bp
P = €
5.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,5 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €14 000, €12 000, €13 000, €9 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €21 500, €16 000, €15 500 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 6 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wykładnik
r·t = 0,08·15 = 1,2
e1,2 = 3,32
Wartość przyszła
FV = 1 000·3,32 = €3 320,12
Odpowiedź
FV = €3 320,12
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: N = 95 raty
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,005/200 = 0,625
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,625)/ln(1,005) = 94,24
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
94 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 95
Odpowiedź
N = 95 raty
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1218 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €40,00, i = 0,0275, N = 24
Wartość bieżąca kuponów
€40,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €696,03
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,5215 = €521,48
Cena
P = €1 217,51
Odpowiedź
P = €1 217,51
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
4.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 969 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 8,5/1,06 = 8,019
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −8,019·(−0,0025) = 2,005%
P ≈ 950·(1 + 0,02005) = €969,04
Odpowiedź
P = €969,04
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,545 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·10% + 0,4545·3%·(1 − 0,2) = 6,545%
Odpowiedź
WACC = 6,545%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 11,96 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,5/(1 + 0,7·0,4) = 1,172
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1,172·(1 + 0,7·1) = 1,992
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 1,992·5% = 11,96%
Odpowiedź
re = 11,96%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 8559 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 14 000/1,1 = 12 727,27
CF2/(1 + 0,1)2 = 12 000/1,21 = 9 917,36
CF3/(1 + 0,1)3 = 13 000/1,331 = 9 767,09
CF4/(1 + 0,1)4 = 9 000/1,464 = 6 147,12
Zsumuj
NPV = €8 558,84
Odpowiedź
NPV = €8 558,84
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 12,28 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.