Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €1 000 na koniec każdego roku przez 14 lat. Stopa procentowa wynosi 5 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €1 000i = 5%n = 14

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt hipoteczny €300 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 25 lat przy 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 10? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €300 0005,4% / 12N = 300k = 120

B = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 3,5%n = 4

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 16 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%) kosztuje €1 101. Emitent może ją wykupić przed terminem za 6 lat po cenie wykupu €1 070. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 7%P = €1 101cena wcześniejszego wykupu = €1 070wcześniejszy wykup za 6 lata

YTC = %

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,25 ma wymaganą stopę zwrotu 10,13%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,25r_e = 10,13%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €15,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.

β = 0,9r_f = 1,5%r_m = 8%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €7 500 na koniec każdego roku przez 6 lat. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500CF₃ = 7 500CF₄ = 7 500CF₅ = 7 500CF₆ = 7 500

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €10 000 przynosi €4 500 na koniec każdego roku przez 3 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €10 000CF = €4 500n = 3

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 9899 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5051)/0,05 = 9,899

Wartość bieżąca

PV = 1 000·9,899 = €9 898,64

Odpowiedź

PV = €9 898,64

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: B = 224738 €

Rata miesięczna

i = 0,0045, N = 300

A = 300 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁰⁰) = €1 824,39

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 300 − 120 = 180

B = 1824·(1 − (1 + 0,0045)⁻¹⁸⁰)/0,0045 = €224 737,60

Odpowiedź

B = €224 737,60

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 944,5 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,0175, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €74,05

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8704 = €870,41

Cena

P = €944,46

Odpowiedź

P = €944,46

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 5,954 %

Równanie dla rentowności

1101 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

Rozwiąż numerycznie

y = 5%: €1 153,75

y = 6%: €1 098,52

YTC = 5,954%

Odpowiedź

YTC = 5,954%

Rentowność do wykupu wynosi 6,001%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 8,504 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (10,13% − 2%)/1,25 = 6,504%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 2% + 6,504% = 8,504%

Odpowiedź

r_m = 8,504%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,99 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€15,00 = €60 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,9·6,5% = 7,35%

Wagi

V = €65 250 000, E/V = 0,9195, D/V = 0,08046

WACC

WACC = 0,9195·7,35% + 0,08046·4%·(1 − 0,28) = 6,99%

Odpowiedź

WACC = 6,99%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,716 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 7 500/1,06 = 7 075,47 → Σ = 7 075,47

rok 2: 7 500/1,124 = 6 674,97 → Σ = 13 750,44

rok 3: 7 500/1,191 = 6 297,14 → Σ = 20 047,59

rok 4: 7 500/1,262 = 5 940,70 → Σ = 25 988,29

rok 5: 7 500/1,338 = 5 604,44 → Σ = 31 592,73

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 4 011,71/5 604,44 = 4,716

Odpowiedź

DPB = 4,716 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (4 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 16,65 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 10 000/4 500 = 2,222

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 16%: 2,246

i = 17%: 2,21

IRR = 16,65%

Odpowiedź

IRR = 16,65%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation