Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 5 lat potrzebujesz €20 000. Konto daje 4 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €20 0004% / 4n = 5

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €500 na koniec każdego miesiąca przez 10 lat. Konto daje 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €5004,2% / 12N = 120

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 3%YTM = 2,5%n = 4

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 5 latach, a jej cena wynosi €940. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 5P = €940

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,4 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 4%, a rynkowa premia za ryzyko 4,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1T = 25%r_f = 4%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €250 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €27 000, a potem przepływ rośnie o 1 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €27 000g = 1%r = 10%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt A kosztuje €40 000 i przynosi €21 500, €15 500, €9 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €42 000 i przynosi €11 500, €16 500, €22 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.

A: −40 000, 21 500, 15 500, 9 500B: −42 000, 11 500, 16 500, 22 000

r* = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 16391 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·5 = 20

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,22 = €16 390,89

Odpowiedź

PV = €16 390,89

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 74407 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·10 = 120

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,521 − 1)/0,0035 = €74 406,56

Odpowiedź

FV = €74 406,56

Sam wpłaciłeś €60 000; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1019 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €15,00, i = 0,0125, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€15,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €113,52

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,9054 = €905,40

Cena

P = €1 018,92

Odpowiedź

P = €1 018,92

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 9,565 %

Równanie dla rentowności

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18

YTM = 9,565%

Odpowiedź

YTM = 9,565%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,863 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·9% + 0,25·6%·(1 − 0,258) = 7,863%

Odpowiedź

WACC = 7,863%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 12,02 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,4/(1 + 0,75·0,5) = 1,018

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 1,018·(1 + 0,75·1) = 1,782

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 1,782·4,5% = 12,02%

Odpowiedź

r_e = 12,02%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 50000 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 27 000/(0,1 − 0,01) = 300 000,00

NPV

NPV = 300 000,00 − 250 000 = €50 000,00

Odpowiedź

NPV = €50 000,00

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: r* = 5,784 %

Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.

Różnica przepływów

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 11 500 − 21 500 = −10 000

ΔCF₂ = 16 500 − 15 500 = 1 000

ΔCF₃ = 22 000 − 9 500 = 12 500

IRR różnicy

NPV_Δ(5%) = 181,19

NPV_Δ(6%) = −48,72

r* = 5,784%

Odpowiedź

r* = 5,784%

Sprawdzenie: przy 5,784% oba NPV wynoszą €2 200,90.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation