Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €500 na koniec każdego roku przez 18 lat. Stopa procentowa wynosi 10 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €500i = 10%n = 18

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €200 na koniec każdego miesiąca przez 28 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2002,4% / 12N = 336

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 3%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 8%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 8,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 3%n = 11y₀ = 8%y₁ = 8,5%

HPR = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €1 075. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 10P = €1 075

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 1. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 30%. Wyznacz WACC.

D/E = 1r_e = 11%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €10 000 000 i koszcie 14%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%, 5 lat do wykupu), notowanych po €938 za sztukę. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €10 000 000r_e = 14%obligacje: 8 000 × €938kupon = 5%n = 5T = 28%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €80 000, działa przez 4 lat, a jej eksploatacja kosztuje €3 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €80 000M = €3 000n = 4r = 10%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €40 000 przynosi €8 000 na koniec każdego roku przez 7 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €40 000CF = €8 000n = 7

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 4101 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,1799)/0,1 = 8,201

Wartość bieżąca

PV = 500·8,201 = €4 100,71

Odpowiedź

PV = €4 100,71

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 95684 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·28 = 336

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,957 − 1)/0,002 = €95 683,60

Odpowiedź

FV = €95 683,60

Sam wpłaciłeś €67 200; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 4,055 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €30,00, i = 0,08, N = 11

€30,00·(1 − 0,4289)/0,08 + €1 000·0,4289 = €214,17 + €428,88 = €643,05

Cena sprzedaży

C = €30,00, i = 0,085, N = 10

€30,00·(1 − 0,4423)/0,085 + €1 000·0,4423 = €196,84 + €442,29 = €639,13

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (30 + 639,13 − 643,05)/643,05 = 4,055%

Odpowiedź

HPR = 4,055%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,027 %

Równanie dla rentowności

€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 077,22, P(6%) = €1 000,00

YTM = 5,027%

Odpowiedź

YTM = 5,027%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,6 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·11% + 0,5·6%·(1 − 0,3) = 7,6%

Odpowiedź

WACC = 7,6%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10 %

Koszt długu (YTM)

938 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 6,492%

Wartości rynkowe

D = 8 000·€938 = €7 504 000

V = €17 504 000, E/V = 0,5713, D/V = 0,4287

WACC

WACC = 0,5713·14% + 0,4287·6,492%·(1 − 0,28) = 10%

Odpowiedź

WACC = 10%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 28238 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,1⁻⁴)/0,1 = 3,17

Zannualizowana cena zakupu

80 000/3,17 = 25 237,66

EAC

EAC = 25 237,66 + 3 000 = €28 237,66

Odpowiedź

EAC = €28 237,66

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 9,196 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 40 000/8 000 = 5

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 9%: 5,033

i = 10%: 4,868

IRR = 9,196%

Odpowiedź

IRR = 9,196%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation