W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €5 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €5 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €250 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 30 lat. Oprocentowanie wynosi 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €250 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 3 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 2%YTM = 3%n = 3
P = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 5%n = 6YTM = 8%
D = lata
5.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,75. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 25%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,75re = 11%rd = 6%T = 25%
WACC = %
6.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 1 000 000 akcji po €27,50 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,1, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
7.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €80 000, działa przez 5 lat, a jej eksploatacja kosztuje €1 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €80 000M = €1 000n = 5r = 8%
EAC = €
8.NPV i IRRTrudny
Projekt A kosztuje €30 000 i przynosi €17 500, €12 000, €6 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €32 000 i przynosi €10 000, €12 500, €17 500. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 250 000·0,003/(1 − 0,3401) = €1 136,61
Odpowiedź
A = €1 136,61
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 971,5 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €10,00, i = 0,015, N = 6
Wartość bieżąca kuponów
€10,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €56,97
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,9145 = €914,54
Cena
P = €971,51
Odpowiedź
P = €971,51
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
4.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 5,269 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 50/1,08 = 46,30, t·PV = 46,30
t = 2: 50/1,166 = 42,87, t·PV = 85,73
t = 3: 50/1,26 = 39,69, t·PV = 119,07
t = 4: 50/1,36 = 36,75, t·PV = 147,01
t = 5: 50/1,469 = 34,03, t·PV = 170,15
t = 6: 1050/1,587 = 661,68, t·PV = 3 970,07
Duration
P = 861,31
D = 4 538,33/861,31 = 5,269
Odpowiedź
D = 5,269 lata
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,214 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·6%·(1 − 0,25) = 8,214%
Odpowiedź
WACC = 8,214%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,067 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,08−5)/0,08 = 3,993
Zannualizowana cena zakupu
80 000/3,993 = 20 036,52
EAC
EAC = 20 036,52 + 1 000 = €21 036,52
Odpowiedź
EAC = €21 036,52
8.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 9,192 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 10 000 − 17 500 = −7 500
ΔCF2 = 12 500 − 12 000 = 500
ΔCF3 = 17 500 − 6 500 = 11 000
IRR różnicy
NPVΔ(9%) = 34,12
NPVΔ(10%) = −140,50
r* = 9,192%
Odpowiedź
r* = 9,192%
Sprawdzenie: przy 9,192% oba NPV wynoszą €1 084,21.