Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.

PV = €12 0003,6% / 4n = 6

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 5 lat chcesz mieć €20 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €20 0002,4% / 12N = 60

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 9% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 9%n = 6

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 18 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 8%) kosztuje €1 281. Emitent może ją wykupić przed terminem za 4 lat po cenie wykupu €1 080. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 8%P = €1 281cena wcześniejszego wykupu = €1 080wcześniejszy wykup za 4 lata

YTC = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,5. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 21%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,5r_e = 9%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 500 000 akcji po €22,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 20%. Współczynnik beta akcji to 1,2, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,2r_f = 3,5%r_m = 7,5%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €10 000 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 10 000CF₃ = 10 000CF₄ = 10 000CF₅ = 10 000

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €50 000. Jego przepływ wynosi €6 000 na koniec roku 1 i rośnie o 5 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 10. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €6 000g = 5%n = 10r = 10%

NPV = €

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 14879 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·6 = 24

Wartość przyszła

FV = 12 000·(1 + 0,009)²⁴ = 12 000·1,24 = €14 878,85

Odpowiedź

FV = €14 878,85

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 314,1 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·5 = 60

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0,002/(1,127 − 1) = €314,07

Odpowiedź

A = €314,07

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 680,8 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,045, N = 12

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,5897)/0,045 = €91,19

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5897 = €589,66

Cena

P = €680,85

Odpowiedź

P = €680,85

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 2,464 %

Równanie dla rentowności

1281 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1080/(1 + y)⁴

Rozwiąż numerycznie

y = 2%: €1 302,37

y = 3%: €1 256,93

YTC = 2,464%

Odpowiedź

YTC = 2,464%

Rentowność do wykupu wynosi 5,501%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,58 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·6%·(1 − 0,21) = 7,58%

Odpowiedź

WACC = 7,58%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,859 %

Wartości rynkowe

E = 2 500 000·€22,00 = €55 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,2·4% = 8,3%

Wagi

V = €59 800 000, E/V = 0,9197, D/V = 0,08027

WACC

WACC = 0,9197·8,3% + 0,08027·3,5%·(1 − 0,2) = 7,859%

Odpowiedź

WACC = 7,859%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,413 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 10 000/1,06 = 9 433,96 → Σ = 9 433,96

rok 2: 10 000/1,124 = 8 899,96 → Σ = 18 333,93

rok 3: 10 000/1,191 = 8 396,19 → Σ = 26 730,12

rok 4: 10 000/1,262 = 7 920,94 → Σ = 34 651,06

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 3 269,88/7 920,94 = 3,413

Odpowiedź

DPB = 3,413 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −5361 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,05)/(1,1))¹⁰ = 0,628

PV = 6 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,628) = 44 638,87

NPV

NPV = 44 638,87 − 50 000 = −€5 361,13

Odpowiedź

NPV = −€5 361,13

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation