Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €8 000 na koniec każdego roku przez 5 lat. Stopa procentowa wynosi 4 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €8 000i = 4%n = 5

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €8 000 przy 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €350 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €8 000A = €3503,6% / 12

N = raty

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 2,5%n = 10

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 15 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 9%) kosztuje €1 132. Emitent może ją wykupić przed terminem za 3 lat po cenie wykupu €1 090. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 9%P = €1 132cena wcześniejszego wykupu = €1 090wcześniejszy wykup za 3 lata

YTC = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,25. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 1D/E = 0,25T = 21%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €40 000, działa przez 8 lat, a jej eksploatacja kosztuje €5 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €40 000M = €5 000n = 8r = 12%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €14 000, €28 500, €29 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −40 000CF₁ = 14 000CF₂ = 28 500CF₃ = 29 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 35615 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8219)/0,04 = 4,452

Wartość bieżąca

PV = 8 000·4,452 = €35 614,58

Odpowiedź

PV = €35 614,58

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 24 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,003/350 = 0,9314

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,9314)/ln(1,003) = 23,71

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

23 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 24

Odpowiedź

N = 24 raty

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1220 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,0125, N = 20

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,78)/0,0125 = €439,98

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,78 = €780,01

Cena

P = €1 219,99

Odpowiedź

P = €1 219,99

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 6,794 %

Równanie dla rentowności

1132 = 90·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1090/(1 + y)³

Rozwiąż numerycznie

y = 6%: €1 155,76

y = 7%: €1 125,95

YTC = 6,794%

Odpowiedź

YTC = 6,794%

Rentowność do wykupu wynosi 7,504%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,653 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455

WACC

WACC = 0,4545·8% + 0,5455·7%·(1 − 0,21) = 6,653%

Odpowiedź

WACC = 6,653%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 11,28 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 1·(1 + 0,79·0,25) = 1,198

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,198·6,5% = 11,28%

Odpowiedź

r_e = 11,28%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 13052 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,12⁻⁸)/0,12 = 4,968

Zannualizowana cena zakupu

40 000/4,968 = 8 052,11

EAC

EAC = 8 052,11 + 5 000 = €13 052,11

Odpowiedź

EAC = €13 052,11

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 31,31 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 832,95

NPV(35%) = −2 204,95

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·832,95/(832,95 − (−2 204,95)) = 31,37%

dokładnie: NPV(31,31%) = 0 → IRR = 31,31%

Odpowiedź

IRR = 31,31%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation