Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €20 000 przy nominalnej stopie 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 2 latach.

PV = €20 0004% / 12n = 2

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt hipoteczny €300 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 20 lat przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 3? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €300 0002,4% / 12N = 240k = 36

B = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 10 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 085, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 10P = €1 085YTM = 3%

c = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €1 075. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 6P = €1 075

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej WACC wynosi 5,75%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stawka podatku 21%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €6 000 000D = €4 000 000WACC = 5,75%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

6.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,2 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1T = 21%r_f = 1,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €9 000, €7 000, €5 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 7 000CF₃ = 5 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €200 000. Jego przepływ wynosi €25 500 na koniec roku 1 i rośnie o 5 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 7. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €25 500g = 5%n = 7r = 12%

NPV = €

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 21663 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·2 = 24

Wartość przyszła

FV = 20 000·(1 + 0,003333)²⁴ = 20 000·1,083 = €21 662,86

Odpowiedź

FV = €21 662,86

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: B = 263638 €

Rata miesięczna

i = 0,002, N = 240

A = 300 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻²⁴⁰) = €1 575,13

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 240 − 36 = 204

B = 1575·(1 − (1 + 0,002)⁻²⁰⁴)/0,002 = €263 638,18

Odpowiedź

B = €263 638,18

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 3,996 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,03)⁻¹⁰ = €744,09

Kupon

C = (1085 − 744,09)/8,53 = €39,96

Oprocentowanie kuponu

c = 39,96/1000 = 3,996%

Odpowiedź

c = 3,996%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,499 %

Równanie dla rentowności

€1 075 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17

YTM = 5,499%

Odpowiedź

YTM = 5,499%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 8,003 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

Część dłużna WACC

0,4·3%·(1 − 0,21) = 0,948%

Koszt kapitału własnego

r_e = (5,75% − 0,948%)/0,6 = 8,003%

Odpowiedź

r_e = 8,003%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 12,11 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,2/(1 + 0,79·0,4) = 0,9119

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 0,9119·(1 + 0,79·1) = 1,632

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,632·6,5% = 12,11%

Odpowiedź

r_e = 12,11%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −2825 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 9 000/1,12 = 8 035,71

CF₂/(1 + 0,12)² = 7 000/1,254 = 5 580,36

CF₃/(1 + 0,12)³ = 5 000/1,405 = 3 558,90

Zsumuj

NPV = €−2 825,03

Odpowiedź

NPV = €−2 825,03

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −67582 €

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,05)/(1,12))⁷ = 0,6365

PV = 25 500/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6365) = 132 417,58

NPV

NPV = 132 417,58 − 200 000 = −€67 582,42

Odpowiedź

NPV = −€67 582,42

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation