Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 9 lat potrzebujesz €25 000. Konto daje 3 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €25 0003% / 4n = 9

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €20 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 5 lat. Oprocentowanie wynosi 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €20 0006% / 12N = 60

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 8 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 8%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 7%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 5%n = 8y₀ = 8%y₁ = 7%

HPR = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 3%n = 6YTM = 5%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej WACC wynosi 9,4%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 25%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €8 000 000D = €2 000 000WACC = 9,4%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

6.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 20%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 7%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 1,1D/E = 0,75T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €7 000 na koniec każdego roku przez 4 lat. Koszt kapitału wynosi 12 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000CF₄ = 7 000

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €10 000, €15 000, €12 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 10 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 15 000CF₃ = 12 000

MIRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 19104 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·9 = 36

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,309 = €19 103,72

Odpowiedź

PV = €19 103,72

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 386,7 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,7414

A = 20 000·0,005/(1 − 0,7414) = €386,66

Odpowiedź

A = €386,66

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 13,85 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €50,00, i = 0,08, N = 8

€50,00·(1 − 0,5403)/0,08 + €1 000·0,5403 = €287,33 + €540,27 = €827,60

Cena sprzedaży

C = €50,00, i = 0,07, N = 7

€50,00·(1 − 0,6227)/0,07 + €1 000·0,6227 = €269,46 + €622,75 = €892,21

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (50 + 892,21 − 827,60)/827,60 = 13,85%

Odpowiedź

HPR = 13,85%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 5,552 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 30/1,05 = 28,57, t·PV = 28,57

t = 2: 30/1,103 = 27,21, t·PV = 54,42

t = 3: 30/1,158 = 25,92, t·PV = 77,75

t = 4: 30/1,216 = 24,68, t·PV = 98,72

t = 5: 30/1,276 = 23,51, t·PV = 117,53

t = 6: 1030/1,34 = 768,60, t·PV = 4 611,61

Duration

P = 898,49

D = 4 988,60/898,49 = 5,552

Odpowiedź

D = 5,552 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 11 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

Część dłużna WACC

0,2·4%·(1 − 0,25) = 0,6%

Koszt kapitału własnego

r_e = (9,4% − 0,6%)/0,8 = 11%

Odpowiedź

r_e = 11%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 14,32 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 1,1·(1 + 0,8·0,75) = 1,76

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 1,76·7% = 14,32%

Odpowiedź

r_e = 14,32%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,716 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 7 000/1,12 = 6 250,00 → Σ = 6 250,00

rok 2: 7 000/1,254 = 5 580,36 → Σ = 11 830,36

rok 3: 7 000/1,405 = 4 982,46 → Σ = 16 812,82

rok 4: 7 000/1,574 = 4 448,63 → Σ = 21 261,45

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 3 187,18/4 448,63 = 3,716

Odpowiedź

DPB = 3,716 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,857 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: MIRR = 17,54 %

Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Wartość końcowa wpływów

10 000·1,1² = 12 100,00

15 000·1,1¹ = 16 500,00

12 000·1,1⁰ = 12 000,00

TV = 40 600,00

MIRR

MIRR = (40 600,00/25 000)^1/3 − 1 = 17,54%

Odpowiedź

MIRR = 17,54%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation