Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 25 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 25%m = 4

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 17 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2502,4% / 12N = 204

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% i zapada za 13 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 3% na 1%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 4%n = 13y₁ = 3%y₂ = 1%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €1 080. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 5%n = 10P = €1 080

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €12 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €1 500 000 i długiem o wartości €5 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt akcji uprzywilejowanych 8%, a koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 12%r_p = 8%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 9%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 4 lat do wykupu), notowanych po €982 za sztukę. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €6 000 000r_e = 9%obligacje: 2 000 × €982kupon = 4%n = 4T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €10 000, €7 000, €10 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 7 000CF₃ = 10 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €33 500, €32 000, €37 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 500CF₂ = 32 000CF₃ = 37 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 27,44 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,25/4 = 0,0625

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0625)⁴ − 1 = 1,274 − 1 = 27,44%

Odpowiedź

EAR = 27,44%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 62899 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·17 = 204

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,503 − 1)/0,002 = €62 899,32

Odpowiedź

FV = €62 899,32

Sam wpłaciłeś €51 000; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 257,7 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €40,00, i = 0,03, N = 13

€40,00·(1 − 0,681)/0,03 + €1 000·0,681 = €425,40 + €680,95 = €1 106,35

Cena przy nowej rentowności

C = €40,00, i = 0,01, N = 13

€40,00·(1 − 0,8787)/0,01 + €1 000·0,8787 = €485,35 + €878,66 = €1 364,01

Zmiana

ΔP = 1 364,01 − 1 106,35 = €257,66

Odpowiedź

ΔP = €257,66

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,013 %

Równanie dla rentowności

€1 080 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €1 081,11, P(5%) = €1 000,00

YTM = 4,013%

Odpowiedź

YTM = 4,013%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,308 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €18 500 000

E/V = 0,6486, P_s/V = 0,08108, D/V = 0,2703

WACC

WACC = 0,6486·12% + 0,08108·8% + 0,2703·4,5%·(1 − 0,28) = 9,308%

Odpowiedź

WACC = 9,308%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,658 %

Koszt długu (YTM)

982 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 4,502%

Wartości rynkowe

D = 2 000·€982 = €1 964 000

V = €7 964 000, E/V = 0,7534, D/V = 0,2466

WACC

WACC = 0,7534·9% + 0,2466·4,502%·(1 − 0,21) = 7,658%

Odpowiedź

WACC = 7,658%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 563,8 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 10 000/1,15 = 8 695,65

CF₂/(1 + 0,15)² = 7 000/1,322 = 5 293,01

CF₃/(1 + 0,15)³ = 10 000/1,521 = 6 575,16

Zsumuj

NPV = €563,82

Odpowiedź

NPV = €563,82

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 45,75 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(45%) = 460,04

NPV(50%) = −2 481,48

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 45 + 5·460,04/(460,04 − (−2 481,48)) = 45,78%

dokładnie: NPV(45,75%) = 0 → IRR = 45,75%

Odpowiedź

IRR = 45,75%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation