Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 9 lat potrzebujesz €5 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €5 0004,8% / 12n = 9

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Na początku każdego roku przez 25 lat wpłacasz €3 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 6 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 25? Wyznacz FV.

A = €3 000i = 6%n = 25

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 15 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 091, gdy rentowność do wykupu wynosi 7%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 15P = €1 091YTM = 7%

c = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 3 lat. Kosztuje €1 112. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 8% (2×)n = 3P = €1 112

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €5 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €1 500 000 i długiem o wartości €2 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt akcji uprzywilejowanych 6%, a koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 11%r_p = 6%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €5 000 000 i koszcie 13%. Jej dług stanowi 5 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%, 5 lat do wykupu), notowanych po €1 066 za sztukę. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €5 000 000r_e = 13%obligacje: 5 000 × €1 066kupon = 6%n = 5T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €400 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €29 000, a potem przepływ rośnie o 2 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 2%r = 8%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 000, €14 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 14 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 3249 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·9 = 108

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,539 = €3 248,85

Odpowiedź

PV = €3 248,85

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 174469 €

Współczynnik renty zwykłej

((1 + 0,06)²⁵ − 1)/0,06 = 54,86

Renta płatna z góry

Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.

FV = 3 000·54,86·1,06 = €174 469,15

Odpowiedź

FV = €174 469,15

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 7,999 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,07)⁻¹⁵ = €362,45

Kupon

C = (1091 − 362,45)/9,108 = €79,99

Oprocentowanie kuponu

c = 79,99/1000 = 7,999%

Odpowiedź

c = 7,999%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,001 %

Na okres

C = €40,00, N = 6

Rozwiąż numerycznie

i = 2% na półrocze

YTM

YTM = 2·2% = 4,001%

Odpowiedź

YTM = 4,001%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,366 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 5 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €8 500 000

E/V = 0,5882, P_s/V = 0,1765, D/V = 0,2353

WACC

WACC = 0,5882·11% + 0,1765·6% + 0,2353·4,5%·(1 − 0,21) = 8,366%

Odpowiedź

WACC = 8,366%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,125 %

Koszt długu (YTM)

1066 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 4,497%

Wartości rynkowe

D = 5 000·€1 066 = €5 330 000

V = €10 330 000, E/V = 0,484, D/V = 0,516

WACC

WACC = 0,484·13% + 0,516·4,497%·(1 − 0,21) = 8,125%

Odpowiedź

WACC = 8,125%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 83333 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 29 000/(0,08 − 0,02) = 483 333,33

NPV

NPV = 483 333,33 − 400 000 = €83 333,33

Odpowiedź

NPV = €83 333,33

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 19,04 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(15%) = 1 238,19

NPV(20%) = −277,78

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 15 + 5·1 238,19/(1 238,19 − (−277,78)) = 19,08%

dokładnie: NPV(19,04%) = 0 → IRR = 19,04%

Odpowiedź

IRR = 19,04%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation