Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 3 latach.

PV = €12 0002% / 4n = 3

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €8 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €8 0004,8% / 12N = 48

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 5 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 5%n = 5

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €885. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 8P = €885

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €10 000 000 i koszcie 14%. Jej dług stanowi 4 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 5 lat do wykupu), notowanych po €1 046 za sztukę. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €10 000 000r_e = 14%obligacje: 4 000 × €1 046kupon = 4%n = 5T = 20%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €20 000, działa przez 4 lat, a jej eksploatacja kosztuje €5 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €20 000M = €5 000n = 4r = 5%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €30 500, €26 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 30 500CF₂ = 26 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 12740 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·3 = 12

Wartość przyszła

FV = 12 000·(1 + 0,005)¹² = 12 000·1,062 = €12 740,13

Odpowiedź

FV = €12 740,13

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 183,5 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,8256

A = 8 000·0,004/(1 − 0,8256) = €183,51

Odpowiedź

A = €183,51

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 868,7 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,025, N = 10

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,7812)/0,025 = €87,52

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7812 = €781,20

Cena

P = €868,72

Odpowiedź

P = €868,72

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 8,001 %

Równanie dla rentowności

€885 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Rozwiąż numerycznie

P(8%) = €885,07, P(9%) = €833,96

YTM = 8,001%

Odpowiedź

YTM = 8,001%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,313 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·12% + 0,625·6%·(1 − 0,25) = 7,313%

Odpowiedź

WACC = 7,313%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,58 %

Koszt długu (YTM)

1046 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 2,996%

Wartości rynkowe

D = 4 000·€1 046 = €4 184 000

V = €14 184 000, E/V = 0,705, D/V = 0,295

WACC

WACC = 0,705·14% + 0,295·2,996%·(1 − 0,2) = 10,58%

Odpowiedź

WACC = 10,58%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 10640 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,05⁻⁴)/0,05 = 3,546

Zannualizowana cena zakupu

20 000/3,546 = 5 640,24

EAC

EAC = 5 640,24 + 5 000 = €10 640,24

Odpowiedź

EAC = €10 640,24

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 9,432 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 3 083,90

NPV(10%) = −371,90

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·3 083,90/(3 083,90 − (−371,90)) = 9,462%

dokładnie: NPV(9,432%) = 0 → IRR = 9,432%

Odpowiedź

IRR = 9,432%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation