Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 8 lat potrzebujesz €10 000. Konto daje 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €10 0002% / 4n = 8

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 11 lat chcesz mieć €30 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €30 0005,4% / 12N = 132

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% i zapada za 9 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 7% na 7,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 6%n = 9y₁ = 7%y₂ = 7,5%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €1 140. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 9P = €1 140

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €38,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €92 400 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,00 na akcję, a dywidendy rosną o 4% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €154 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 4 000 000P₀ = €38,50księgowy kapitał własny = €92 400 000D₀ = €2,00g = 4%D = €154 000 000r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €60 000. Przynosi €8 500 na koniec każdego roku przez 7 lat, a potem można ją sprzedać za €15 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €60 000CF = €8 500S = €15 000n = 7r = 8%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €50 000. Jego przepływ wynosi €7 000 na koniec roku 1 i rośnie o 5 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 7. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €7 000g = 5%n = 7r = 12%

NPV = €

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 8525 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·8 = 32

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,173 = €8 524,84

Odpowiedź

PV = €8 524,84

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 166,9 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·11 = 132

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,0045/(1,809 − 1) = €166,91

Odpowiedź

A = €166,91

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = −30,53 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €60,00, i = 0,07, N = 9

€60,00·(1 − 0,5439)/0,07 + €1 000·0,5439 = €390,91 + €543,93 = €934,85

Cena przy nowej rentowności

C = €60,00, i = 0,075, N = 9

€60,00·(1 − 0,5216)/0,075 + €1 000·0,5216 = €382,73 + €521,58 = €904,32

Zmiana

ΔP = 904,32 − 934,85 = −€30,53

Odpowiedź

ΔP = −€30,53

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,028 %

Równanie dla rentowności

€1 140 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02

YTM = 5,028%

Odpowiedź

YTM = 5,028%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,969 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·8% + 0,375·7%·(1 − 0,25) = 6,969%

Odpowiedź

WACC = 6,969%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,781 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 2·1,04 = €2,08

r_e = 2,08/38,5 + 0,04 = 9,403%

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€38,50 = €154 000 000

V = €308 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·9,403% + 0,5·3%·(1 − 0,28) = 5,781%

Odpowiedź

WACC = 5,781%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −6993 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

8 500·5,206 = 44 254,15

Wartość bieżąca wartości końcowej

15 000/1,714 = 8 752,36

NPV

NPV = −60 000 + 44 254,15 + 8 752,36 = −€6 993,50

Odpowiedź

NPV = −€6 993,50

8.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −13650 €

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,05)/(1,12))⁷ = 0,6365

PV = 7 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6365) = 36 349,92

NPV

NPV = 36 349,92 − 50 000 = −€13 650,08

Odpowiedź

NPV = −€13 650,08

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation