W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €8 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €8 000g = 1,5%r = 6,5%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €100 na koniec każdego miesiąca przez 19 lat. Konto daje 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €1006% / 12N = 228
FV = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 5 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 3% na 4,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 5%n = 5y1 = 3%y2 = 4,5%
ΔP = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €1 085 przy rentowności do wykupu 5% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 9 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 75 punktów bazowych.
P0 = €1 085y = 5%D = 9Δy = +75 bp
P = €
5.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 1,4 ma wymaganą stopę zwrotu 13,8%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 4%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 1,4re = 13,8%rf = 4%
rm = %
6.CAPM i WACCTrudny
Akcje firmy mają betę 0,9 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €29 000, €19 000, €36 000, €21 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €6 000, €5 500, €6 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 8 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 9/1,05 = 8,571
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −8,571·(0,0075) = −6,429%
P ≈ 1085·(1 − 0,06429) = €1 015,25
Odpowiedź
P = €1 015,25
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 11 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (13,8% − 4%)/1,4 = 7%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 4% + 7% = 11%
Odpowiedź
rm = 11%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 6,067 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 0,9/(1 + 0,7·0,5) = 0,6667
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 0,6667·(1 + 0,7·0,75) = 1,017
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 1,017·4% = 6,067%
Odpowiedź
re = 6,067%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 12155 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 29 000/1,08 = 26 851,85
CF2/(1 + 0,08)2 = 19 000/1,166 = 16 289,44
CF3/(1 + 0,08)3 = 36 000/1,26 = 28 577,96
CF4/(1 + 0,08)4 = 21 000/1,36 = 15 435,63
Zsumuj
NPV = €12 154,88
Odpowiedź
NPV = €12 154,88
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 23,72 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.