W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Za 4 lat potrzebujesz €40 000. Konto daje 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €40 0004% / 12n = 4
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €200 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €200 0006% / 12N = 240
A = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4,5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 4%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 4,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 4,5%n = 11y0 = 4%y1 = 4,5%
HPR = %
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 6%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 7%n = 3YTM = 6%
D = lata
5.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,5 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,2. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1,5. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €7 000, €9 000, €6 000, €10 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €24 500, €20 000, €18 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 24 500CF2 = 20 000CF3 = 18 000
IRR = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 34095 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·4 = 48
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,173 = €34 094,82
Odpowiedź
PV = €34 094,82
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 1433 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·20 = 240
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,3021
A = 200 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 432,86
Odpowiedź
A = €1 432,86
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 0,1147 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 70/1,06 = 66,04, t·PV = 66,04
t = 2: 70/1,124 = 62,30, t·PV = 124,60
t = 3: 1070/1,191 = 898,39, t·PV = 2 695,18
Duration
P = 1 026,73
D = 2 885,82/1 026,73 = 2,811
Odpowiedź
D = 2,811 lata
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,06 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·11% + 0,375·4%·(1 − 0,21) = 8,06%
Odpowiedź
WACC = 8,06%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 18,56 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,5/(1 + 0,742·0,2) = 1,306
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1,306·(1 + 0,742·1,5) = 2,76
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 2,76·6% = 18,56%
Odpowiedź
re = 18,56%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 8240 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 7 000/1,05 = 6 666,67
CF2/(1 + 0,05)2 = 9 000/1,103 = 8 163,27
CF3/(1 + 0,05)3 = 6 000/1,158 = 5 183,03
CF4/(1 + 0,05)4 = 10 000/1,216 = 8 227,02
Zsumuj
NPV = €8 239,98
Odpowiedź
NPV = €8 239,98
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 27,87 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(25%) = 1 616,00
NPV(30%) = −1 126,54
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.