Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 5 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.

PV = €12 0005% / 4n = 10

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 20 lat przy 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €150 0003% / 12N = 240

I = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 6 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 4% na 5,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 7%n = 6y₁ = 4%y₂ = 5,5%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 4 latach, a jej cena wynosi €970. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 4P = €970

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 5 000 000 akcji notowanych po €55,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €165 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,10 na akcję, a dywidendy rosną o 4% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €165 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 5 000 000P₀ = €55,00księgowy kapitał własny = €165 000 000D₀ = €1,10g = 4%D = €165 000 000r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €50 000 i przynosi €16 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 16 500CF₂ = 16 500CF₃ = 16 500CF₄ = 16 500CF₅ = 16 500

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €25 000 przynosi €12 000 na koniec każdego roku przez 3 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €25 000CF = €12 000n = 3

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 19723 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·10 = 40

Wartość przyszła

FV = 12 000·(1 + 0,0125)⁴⁰ = 12 000·1,644 = €19 723,43

Odpowiedź

FV = €19 723,43

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 49655 €

Rata miesięczna

i = 0,0025, N = 240

A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁴⁰) = €831,90

Łączne odsetki

I = N·A − P = 240·831,9 − 150 000 = €49 655,14

Odpowiedź

I = €49 655,14

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = −82,33 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €70,00, i = 0,04, N = 6

€70,00·(1 − 0,7903)/0,04 + €1 000·0,7903 = €366,95 + €790,31 = €1 157,26

Cena przy nowej rentowności

C = €70,00, i = 0,055, N = 6

€70,00·(1 − 0,7252)/0,055 + €1 000·0,7252 = €349,69 + €725,25 = €1 074,93

Zmiana

ΔP = 1 074,93 − 1 157,26 = −€82,33

Odpowiedź

ΔP = −€82,33

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 8,924 %

Równanie dla rentowności

€970 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Rozwiąż numerycznie

P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €967,60

YTM = 8,924%

Odpowiedź

YTM = 8,924%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 12,51 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·14% + 0,1429·5%·(1 − 0,28) = 12,51%

Odpowiedź

WACC = 12,51%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,578 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 1,1·1,04 = €1,14

r_e = 1,144/55 + 0,04 = 6,08%

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€55,00 = €275 000 000

V = €440 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·6,08% + 0,375·6%·(1 − 0,21) = 5,578%

Odpowiedź

WACC = 5,578%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,451 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 16 500/1,06 = 15 566,04 → Σ = 15 566,04

rok 2: 16 500/1,124 = 14 684,94 → Σ = 30 250,98

rok 3: 16 500/1,191 = 13 853,72 → Σ = 44 104,70

rok 4: 16 500/1,262 = 13 069,55 → Σ = 57 174,24

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 5 895,30/13 069,55 = 3,451

Odpowiedź

DPB = 3,451 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,03 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 20,71 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 25 000/12 000 = 2,083

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 20%: 2,106

i = 21%: 2,074

IRR = 20,71%

Odpowiedź

IRR = 20,71%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation